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第四节 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第七章 三、有轴平面束 高等数学 * * 2 2 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间直线方程 1.对称式方程 故有 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 已知直线上一点和它的方向向量 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 表示 .例如, 当 时， 若表示？ 高等数学 * * 3 3 目录 上页 下页 返回 结束 2. 参数式方程 设 得参数式方程 : 高等数学 * * 4 4 目录 上页 下页 返回 结束 3. 一般式方程 因此其一般式方程直线可视为两平面交线， (不唯一) 高等数学 * * 5 5 目录 上页 下页 返回 结束 例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 高等数学 * * 6 6 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 高等数学 * * 7 7 目录 上页 下页 返回 结束 是直线 外一点, 点例2. 求点 M0 到线 L 的距离. 解: 由直线方程可知 , 直线方向向量为 是直线 L上一点. 那么向量 与 构成的平行四边形的面积为 所以点 M0 到线 L 的距离为 高等数学 * * 8 8 目录 上页 下页 返回 结束 二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 高等数学 * * 9 9 目录 上页 下页 返回 结束 特别有: 高等数学 * * 1010 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 高等数学 * * 1111 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线和它在平面上的投影直 高等数学 * * 1212 目录 上页 下页 返回 结束 特别有: 解: 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例4. 求过点(1,2 , 4) 且与平面 高等数学 * * 1313 目录 上页 下页 返回 结束 三、 有轴平面束 设空间直线方程为 则过 L 的平面束方程为 若不为零， 令则过 L 的平面束方程为 高等数学 * * 1414 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求过直线 L:且与平面 夹成角的平面方程. 解: 过直线 L 的平面束方程 其法向量为 已知平面的法向量为 选择使 从而得所求平面方程 应该还有一 个平面，怎 么丢了呢？ 高等数学 * * 1515 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 解：过已知直线的平面束方程 从中选择 得 这是投影平面 即 使其与已知平面垂直： 从而得投影直线方程 高等数学 * * 1616 目录 上页 下页 返回 结束 一般式 对称式 参数式 1. 空间直线方程 内容小结 高等数学 * * 1717 目录 上页 下页 返回 结束 直线 2. 线与线的关系 直线 夹角公式: 高等数学 * * 1818 目录 上页 下页 返回 结束 平面 : L L / 夹角公式： 3. 面与线间的关系 直线 L : 高等数学 * * 1919 目录 上页 下页 返回 结束 P228 A: 1.(2),(4); 2.(1); 3; 5.(2) 6.(3) B: 2; 5 作业 高等数学 * * 2020 目录 上页 下页 返回 结束 解： 相交,求此直线方程 . 的方向向量为 过 A 点及 面的法向量为则所求直线的方向向量 方法1 利用叉积. 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 备用题 高等数学 * * 2121 目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与的交点为 待求直