D88多元函数的极值及其求法.ppt

第八章 山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室 第八节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值及最值的应用问题 三、条件极值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 复习回顾 1 一元连续函数的极值 v 必要条件： v 第一充分条件： 过由正变负 为极大值 过由负变正 为极小值 v 第二充分条件： 为极大值 为极小值 v 定义: 为极大值 为极小值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 最值点应在极值可疑点和边界点上找 常根据问题的实际意义判别 2 一元连续函数的最值 v 闭区间上连续函数的最值 v 实际问题中的最值 对于多元函数，该如何计算其极值与最值? 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 一、 多元函数的极值 定义: 则称函数在该点取得极大值 例如 :在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 定义, (极小值). 的某邻域内有 若对该邻域内异于 的任何点 , 都有 设函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 注: 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证明 : 取得极值, 取得极值 但驻点未必是极值点. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 (2)可导函数极值点必为驻点, 同理 (1)偏导数都为 0 的点称为驻点. (3)可疑的极值点：驻点、 偏导数不存在的点 又如,在点 (0,0).在点 (0,0) 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 时 , 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: A0 时取极小值. (2) (3) (证明略 ) 时 , 时 , 若函数 且 (4) 定理1的条件下, 平行于xoy面的切平面. 取得极值 不取得极值. 不能确定 , 需另行讨论. (1) 当 当 当 曲面z=f (x, y)在极值点处有 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例1 求函数 解: 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) . 第二步 解方程组 的极值 . 求二阶偏导数 第一步 求可能的极值点 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 极小值 极大值 无极值 无极值 驻点结论 第三步 判断 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例2 讨论函数 及 是否取得极值. 解 : 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 而时， 显然 (0,0) 都是它们的驻点, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 二、最值及最值应用问题 函数 f 在有界闭域上连续 函数 f 在有界闭域上必取得最值 最值可疑点 驻点或偏导数不存在的点 边界上的最值点 特别, 为极小值 为最小值 (大)(大) 在 上的最值. 如求函数 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例3 解: 则水箱所用材料的面积为 令得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内必存在, 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省 ? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为时, 水箱所用材料最省. 设水箱长 、宽分别为 x、 ym, 则高为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其他条件限制 如例3 化为无条件极值问题 若设水箱长、宽、高分别为 x, y, z m ,则 即求A在条件 下的极值. 将代入目标函数就转化为无条件极值问题. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 方法2 拉格朗日乘数法. 例如 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 求函数 下的极值. 在条件 步骤: 拉格朗 日函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 例4 求表面积为a2 则问题就是 令 解方程组 解 : 下求函数 的最大值 在条件 长方体的体积.而体积最大的 设长方体的长、宽、高分别为x、y、 z, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 得唯一驻点 由问题本身可知最大值一定存在, 相等时，长方体体积最大 . 因此 , 当长、宽、高 即长方体的表面积为a2时， 以棱长为 的正方体的体积最大， 最大体积为 练习 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 内容小结 1 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2 函数的条件极值问题 (1) 简单问题化为无条件极值问题 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 设拉格朗日函数 如求二元函数下的极值, 解方程组 第二步 判别 v 比较驻点及边界点上函数值的大小 v 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3 函数的最值问题 在条件 求驻点 . 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 1 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 ABC 面积 S最大. 解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 则 思考与练习 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点对应面积 而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学 2 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 分析 : 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 , 得 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 则 小结 设内接三角形各边所对的圆