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17 高阶偏导数及泰勒公式 由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论 一、高阶偏导数 称为 z = f (x, y)的二阶偏导数. 类似, 可得三阶, 四阶, , n 阶偏导数. 例1. 解: 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合 偏导数才相等呢? 问题: 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数 则 定理1 分析. 按定义 f (x0 , y0 +y) f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0) 同理 f (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0) 证: 分别给 x, y 以改变量x, y , 使(x0 +x , y0 +y), (x 0 +x , y0)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)内. 记 A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y) f (x0 , y0) (x) = f (x , y0 +y ) f (x , y0), 有 A = (x0 +x) (x0) 即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日 中值定理条件. 因A = (x0 +x) (x0) , (x) = f (x , y0 +y )f (x , y0), A = (x0 +1x) x 再对变量 y 用拉格朗日中值定理. 得 另外, A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0, y0 +y ) f (x0+x, y0) f (x0 , y0) 记 (y) = f (x0 +x , y) f (x0 , y), 从而 A = (y0 +y) (y0) (由拉格朗日中值定理) 故 1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏 导的情形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即 求混合偏导与求导顺序无关). 注 2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数 . 若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何 , 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k m 次, 都可写成 例2. 解: 比较知 a = 1, b = 0. 例3. 解: 设 u=x+y+z, v=xyz, 从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数. 由链式法则. 注意： 还要用链式法则来求. 例4. 解: 例5. 解: (1) 由隐函数求导公式 从而, (2)上式两端对 x 求偏导. 此时右边的z看作 x 的的函数. y要看作常数. 有 例6. 设方程组 解: (1)先求一阶偏导. 注意, u, v 看作 x, y 的函数. 得 方程两边对x 求偏导. 从而, (2) 从而, 例7. 设u = f (x, y, z), y=x3, (x2, lny, z) = 0 . 解: u = f (x, x3, z) (x2, 3lnx, z) = 0 易见 z, u均 x 的函数, 方程两边对 x 求导数. 得 从而 和一元函数一样, 多元函数也有高阶微分的 概念. 我们只介绍二元函数的高阶微分. 若 dz 还可微, 则记 d2z = d(dz), 称为 z 的二阶微分. 二、高阶微分 下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式. 设以 x, y 为自变量 的函数 z = f (x, y)Ck . 由于x, y 为自变量,故dx = x, dy = y,与 x, y 的取值无关. 固定x, y, (即将它们看作常数), 求dz的微分. 且 d2z = d(dz) 记 引进记号. 这相当于规定了 “将字母 z 移到括号外“ 的 方法。 实际上， 它把C1中的每一个z, 通过上述运算, 映成了dz. 若记这个映射为g , 则 比较两端式子, 可看出, 不过是用一个我们陌生的式子 来代替字母 g 而已.即, 我们把这个映射称为一阶微分算子. 类似, 记 并规定: 故, 二阶微分算子实际上就是一阶微分算 子 g 复合二次. 只不过这种复合运算在上述规定下, 可以 看作是一阶微分算子 一般, 若形式上规定. (1) 当 z = f (x, y)Ck 时, z 有 k 阶微分. (2) 只有把它按上述规定, 展开后, 再将各 项 “乘“以 z (即, 将 z 补写在 k 后面), 一切记号才回复到导数和微分的意义. 注 (3) 它本质上是一个映射. 它将 Ck 中的 元素 z 映成 dk z . (4) 若 x, y 不是自变量, dk z 一般不具有上述形式. 18 方向导数 函数的导数就是函数的变化率. 比如, y = f (x), 如图 x o y x0x0+x x0+x y x0 y = f (x) 一、方向导数的概念 x o y x0x0+x x0+x y x0 y = f (x) 表示在 x0处沿 x 轴正方向的变化率. 表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率. 又比如, z = f (x, y), 偏导数 分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向 的变化率. 如图 x o y z x0 (x0, y0) y 表示在 (x0, y0)处沿 y 轴正方向的变化率. 表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率. 但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率. 比如, 设 f (X)表示某物 体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导 就依赖于温度沿各方向下降的速度. 因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向的 方向导数. 把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念. y x z o z = f (x, y) X0 M0 即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的 切线对 x 的斜率. T1 1 : z = f (x, y0) 1 y0 y x z o z = f (x, y) M0 X0 2 2 : z = f (x0 , y) 即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的 交线在 M0处的切线对 y 的斜率. x0 T2 如图 x o y z M0 l X0=(x0, y0)X = (x0+x, y0+y) M N 设 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)的某 邻域U(x0)内有定义. 以 X0 为端点引射线 l , 其单位方向向量为 e = (cos, cos), 设X = (x0+x, y0+y)是 l 上另一点. x o y z M0 l X0=(x0, y0) X = (x0+x, y0+y) M N 定 义 若当 X 沿 l 趋于 X0 时, 对应的函数改变量与线 段X0X的长 | X0X |的比值 X = (x0+x, y0+y) x o y z M0 l X0=(x0, y0) M N 则称它为 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)沿 l 的方向导数. x o y z M0 l X0=(x0, y0) M N X = (x0+x, y0+y) 沿l 沿l 1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上, 且 X 沿 l 趋向于X0 . 的分母大于0. 如图 另外比值 x o y X0=(x0, y0) l X = (x0+x, y0+y) y x 注 2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在. 则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数, 在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数, 同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f y (x0, y0), 而沿 y 轴负方向的方向导数为 f y (x0, y0). 3.定义中的极限表示式可用另一形式给出. 由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为 x = x0 + tcos y = y0 + tcos t 0 或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 而 X X0 就是 t 0+. 即 X = X0+ te 从而 这正是教材中给出的定义式. 沿 l 若 z = f (X) = f (x, y) 在点 X0 = (x0, y0) 可微, 则 z = f (X) 在 X0沿任一方向e = (cos, cos) 的方向导数存在. e为单位向量. 且 = Jf (X0) e. (最后两式为数量积) 二、方向导数的计算 定理4 证: 如图 x o y X0 = (x0, y0) e y x l X0 = (x0+x, y0+y) 在射线 l 上取点 X = (x0+x, y0+y) 其中, X =(x, y) 因向量X = X X0 = X0 X / e , 故 X = te , (t 0), X = X0 +te , | X0 X | = | X | = t = X0 + X 由方向导数定义 看 f (X0 + te) f (X0). 沿 l 因 f (X)在X0可微, 知 z = f (X0 + X ) f (X0) = f (x0 + x, y0 + y ) f (x0 , y0) 由定理1 = Jf (X0) X + 0(| X |) 上式对任何x, y 都成立. 特别, 当 X = X0 + X 在射线 l 上时, 当然成立. 即, 当 X0 + X = X0 + te 时, 有 f (X0 + te ) f (X0) = Jf (X0) ( te ) + 0(| te |) = t (Jf (X0) e + 0 ( t ) 除以 t 0, 并令 t 0+, 有 即 z = f (X0 + X ) f (X0) = Jf (X0) X + 0(| X |) = Jf (X0) e 即, 若 u = f (x, y, z) 在点 X0 = (x0, y0 , z0) 可微, 则 u 在该点处沿任何方向e = (cos, cos , cos ) 的方向导数存在 = Jf (X0) e 且 公式可推广到三元函数中去. 例5.求 u = xyz 在点 X0 = (1, 1, 1)处沿从该点到 点 X1 = (1, 2, 2)方向的方向导数. 解: (1)先求出这个方向上的单位向量 e . 向量 X0X1 = (0, 1, 1) 从而与 X0X1 同向单位向量 (2)求 u 在 X0 = (1, 1, 1) 处偏导数. (3)由公式得方向导数 1.若 z = f (X) = f (x, y) 在区域D内存在一 阶连续偏导. X0 = (x0, y0) 是 D 内一点. 知 z 在 X0 沿任何方向e = (cos, cos )的方向导数 其中 | e | = 1. 问, 注 故 最大值为 |Jf (X0)|. 函数沿Jf (X0) 的方向增长最快. (2) 即 (3) 记 grad f (X) = Jf (X) = ( f x(x, y), f y(x, y)称为 f (X)在点 X 处的梯度. 2.设 z = f (X) = f (x, y) , 考察 z 在点 X0 = (x0, y0)处连续; 存在两偏导; 沿任何方向的方向导数 存在以及可微这些概念的联系和区别. (1) (反之如何