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第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 考纲纲 考情 广东东五年0考 高考指数: 1.了解空间间直角坐标标系,会用空间间直角坐标标表示点的位 置 2.会简单应简单应 用空间间两点间间的距离公式 3.了解空间间向量的概念,了解空间间向量的基本定理及其 意义义,掌握空间间向量的正交分解及其坐标标表示 4.掌握空间间向量的线线性运算及其坐标标表示 5.掌握空间间向量的数量积积及其坐标标表示,能运用向量的 数量积积判断向量的共线线与垂直 五年 考题题 无单单独命题题 考情 播报报 1.以简单简单 几何体为载为载 体,进进行线线线线 、线线面、面面关系 的判断和证证明,一般不单单独命题题 2.试题试题 多以解答题题形式出现现,考查查学生的运算能力及分 析问题问题 、解决问题问题 的能力 【知识梳理】 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系. 定 义义 以空间间一点O为为原点,具 有相同的单单位长长度,给给定 正方向,建立两两垂直的 数轴轴:x轴轴、y轴轴、z轴轴,建 立了一个空间间直角坐标标 系_ 坐标标 原点 点O 坐标轴标轴 _、 _ 坐标标 平面 通过过每两 个坐标轴标轴 的平面 Oxyz x轴轴、y轴轴 z轴轴 (2)空间间一点M的坐标标. 空间间一点M的坐标标可以用有序实实数组组(x,y,z)来表示,记记作 M(x,y,z),其中x叫做点M的_,y叫做点M的_, z叫做点M的_; 建立了空间间直角坐标标系,空间间中的点M与有序实实数组组 (x,y,z)可建立_的关系. 横坐标标纵纵坐标标 竖竖坐标标 一一对应对应 2.空间间两点间间的距离公式、中点公式 (1)距离公式. 设设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则|AB|= _; 设设点P(x,y,z),则则与坐标标原点O之间间的距离为为|OP|= _. (2)中点公式. 设设点P(x,y,z)为为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点, _ 则 3.空间向量的有关概念 名 称定 义义 空间间向量在空间间中,具有_和_的量 单单位向量长长度(或模)为为_的向量 零向量长长度(或模)为为_的向量 相等向量方向_且模_的向量 相反向量方向_且模_的向量 共线线向量 (或平行向量) 表示空间间向量的有向线线段所在的直线线互相 _的向量 共面向量平行于_的向量 大小方向 1 0 相同相等 相反相等 平行或重合 同一个平面 4.空间间向量的有关定理 (1)共线线向量定理:对对空间间任意两个向量a,b(b0),ab的 充要条件是存在实实数,使得_. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b_,那么向量p与 向量a,b共面的充要条件是存在_的有序实实数对对(x,y), 使_. (3)空间间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_,那么对对 空间间任一向量p,存在有序实实数组组x,y,z,使得_. 其中,a,b,c叫做空间间的一个基底. a=b 不共线线 唯一 p=xa+yb 不共面 p=xa+yb+zc 5.空间间向量的数量积积及运算律 (1)数量积积及相关概念. 两向量的夹夹角:已知两个非零向量a,b,在空间间任取一点O, 作 =a, =b,则则AOB叫做向量a,b的夹夹角,记记作_, 其范围围是0,若= ,则则称a与b_,记记作 ab. 两向量的数量积积:已知空间间两个非零向量a,b,则则 |a|b|cos叫做向量a,b的数量积积,即 _. 互相垂直 ab=|a|b|cos (2)两个向量数量积的性质及运算律 向量a,b的数量积ab=|a|b|cosa,b，向量的数 量积的性质 向量的数量积满足如下运算律 6.空间间向量的坐标标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(a,b均为为非零向量): 【考点自测】 1.(思考)给给出下列命题题: 空间间中任意两非零向量a,b共面; 对对于任意两个空间间向量a,b,若ab=0,则则ab; 在向量的数量积积运算中(ab)c=a(bc); 对对于非零向量b,由ab=bc,则则a=c; 两向量夹夹角的范围围与两异面直线线所成角的范围围相同. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 【解析】选D.正确.由于向量可平移,因此空间任意两向量都 可平移到同一起点,故空间任意两向量共面. 错误.若a与b是非零向量,才有ab=0 ab. 错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量 ,(ab)c=c,a(bc)=a,故(ab)c与a(bc)不 一定相等. 错误.根据向量数量积的几何意义,ab=bc说明a在b方向 上的射影与c在b方向上的射影相等,而不是a=c. 错误.两向量夹角的范围是0,两异面直线所成角的范 围是 2.(2014福州模拟拟)a=b(是实实数)是a与b共线线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.a=b ab,但 则ab,ab. 3.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论结论 正确 的是( ) A.ab,ac B.ab,ac C.ac,ab D.以上都不对对 【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1), 所以ac. 又ab=(-2)2+(-3)0+14=0,所以ab. 4已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心， 若 则x,y的值分别为( ) A.x1，y1 B.x1，y C.x ，y D.x ，y1 【解析】选C.因为 5已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且 用a,b,c表示 ,则 等于( ) A. (b+c-a) B. (a+b-c) C. (a-b+c) D. (c-a-b) 【解析】选D.由题意知 因为 所以 故选D. 考点1 空间间向量的线线性运算 【典例1】(1)在四面体O-ABC中, =a, =b, =c,D为为BC的 中点,E为为AD的中点,则则 = .(用a,b,c表示) (2)如图图所示,在空间间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为为平行四 边边形,设设 =a, =b, =c,M,N,P分别别是AA1,BC,C1D1的中点 ,试试用a,b,c表示以下各向量: 【解题视点】(1)根据图形及D,E为两线段中点得出 即可求出 (2)用已知不共面的向量表示某一向量，在转化时，结合图形 ，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后 利用三角形法则或平行四边形法则. 【规范解答】(1)如图所示,因为E为 AD的中点,所以 又因为D为BC的中点,所以 答案： (2)因为P是C1D1的中点， 所以 ac ac b. 因为M是AA1的中点， 所以 a(ac b) a bc. 又 所以 【互动探究】在例(2)的条件下，若 试用a，b，c表示 ,则结果如何？ 【解析】如图，连接AF， 则 由已知ABCD是平行四边形， 故 bc， ac. 又 由已知 所以 所以 (bc) (a2c) (abc) 【规律方法】空间向量的线性运算的方法 (1)表示向量的关键:用已知向量表示未知向量时，一定要结合 图形进行，以图形为指导是解题的关键 (2)向量加法的多边形法则:首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则 称为向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则、平行四 边形法则在空间中仍然成立 (3)空间向量的坐标运算类似于平面向量. 提醒：一般把未知向量放在一个封闭图形中,借助于加减法法 则逐步地转化为已知向量,从而完成运算. 【变式训练】如图，在长方体ABCD- A1B1C1D1中，O为AC的中点 (1)化简： (2)用 (3)设E是棱DD1上的点，且 若 试求x,y,z的值 【解析】(1)因为 所以 (2) (3)如图所示， 因为 【加固训练】 1.已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC，M,N分别是边 OA,CB的中点，点G在线段MN上，且使MG2GN，则用向量 表示向量 正确的是( ) 2.已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，M在线段 PC上，N在线段PD上，且PM=2MC,PN=ND，若 则x+y+z=_. 【解析】如图， 答案： 3.如图，已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心， G为AM上一点，且GMGA13.设 a， b， c， 试用a，b，c表示 【解析】 a (abc) a b c， 考点2 共线向量定理、共面向量定理的应用 【典例2】(1)已知向量a,b,且 a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D (2)如图，已知各面均为平行四边形 的四棱柱ABCD-ABCD，E,F, G,H分别是棱AD,DC,CC和 AB的中点，求证:E,F,G,H四点共面 【解题视点】(1)利用三点共线的条件验证求解. (2)证明E,F,G,H四点共面，证明 即可， 即证 三个向量共面 【规范解答】(1)选A.因为 =-5a+6b, =7a-2b, 所以 =(-5a+6b)+(7a-2b) =2a+4b. 又因为 =a+2b,所以 因为BD与AB有公共点B，所以A,B,D三点共线. (2)取 a, b, c， 则 ba2a ba (baca) b c， 所以 与b,c共面即E,F,G,H四点共面 【易错警示】关注空间向量的基底 根据空间向量基本定理，在确定了空间的一组基底后，任何 一个向量都可以用基底表示在(2)中选 为基底,可方 便地证明四点共面.在根据空间向量基本定理表示空间的其他向 量时要注意正确应用向量加、减法和向量的数乘意义，防止出 现错误 【规律方法】 1.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (1) (2)对空间任一点O， (3)对空间任一点O， 2.证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共 面. (1) (2)对空间任一点O， (3)对空间任一点O， (4) 【变变式训练训练 】如图图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为为BC边边的中点, 试证试证 A1B平面AC1D. 【证明】设 a， c， b， 则 ac， 因为A1B 平面AC1D， 因此A1B平面AC1D. 【加固训练】 1有下列命题： 若pxayb，则p与a,b共面； 若p与a,b共面，则pxayb； 若 则P,M,A,B共面； 若P,M,A,B共面，则 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【解析】选B.正确中若a，b共线，p与a不共线，则 pxayb就不成立正确中若M，A，B共线，点P不 在此直线上，则 不正确 2.已知E,F,G,H分别是空 间四边形ABCD的边AB,BC, CD,DA的中点， (1)求证：E,F,G,H四点共面. (2)设M是EG和FH的交点， 求证：对空间任一点O， 有 【证明】(1)如图. 连接BG，则 所以E,F,G,H四点共面 (2)连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. 知 ，同理 所以 ，即EH FG， 所以四边形EFGH是平行四边形 所以EG，FH被M平分 3.如图图所示,已知四边边形ABCD是平行四边边形,P点是四边边形ABCD 所在平面外一点,连连接PA,PB,PC,PD. 设设点E,F,G,H分别为别为 PAB,PBC,PCD,PDA的重心.试试判断 平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证证明你的判断. 【解析】平面EFGH平面ABCD.分别连接PE,PF,PG,PH并延长 交对边于M,N,Q,R点因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心 ， 所以M,N,Q,R为所在边的中点， 顺次连接M,N,Q,R得到的四边 形为平行四边形，且有： 连接MQ，EG, 因为 所以 又因为EG 平面ABC，MQ 平面ABC， 所以EG平面ABC. 因为 所以MNEF， 又因为EF 平面ABC，MN 平面ABC， 所以EF平面ABC. 又EGEFE，所以平面EFGH平面ABCD. 考点3 空间间向量的坐标标运算及数量积积的应应用 【考情】通过过近几年高考试题试题 可以看出,试题试题 以空间间向量的 运算为为主,特别别是数量积积的运算及其应应用,更是考查查的热热点. 若对对空间间向量单单独考查查,则则以选择题选择题 、填空题题的形式出现现. 若作为为解题题的工具,则则出现现在解答题题中,且与线线面关系、求角 、求距离等问题结问题结 合在一起考查查,属中档题题. 高频考点 通 关 【典例3】(1)(2014合肥模拟拟)已知a=(1,0,-1),b=(- 1,1,2). a-b与a夹夹角的余弦值为值为 ; 若ka+b与a-2b平行,则则k= ; 若ka+b与a+3b垂直,则则k= . (2)(2014安阳模拟)如图所示， 已知空间四边形ABCD的每条边和 对角线长都等于1，点E，F，G分 别是AB，AD，CD的中点，计算： EG的长 【解题视点】(1)利用向量的夹角公式及平行、垂直的条件 求解. (2)先求出 然后利用向量的数量积公式求出 利用 求解. 【规范解答】(1)因为ab=(2,1,3)， |ab|= ，|a|= ，(ab)a=5. 所以cosab,a= ka+b=(k1,1,k+2), a2b=(3,2,5)， 因为ka+ba2b，所以 所以k= ka+b=(k1,1,k+2)，a+3b=(2,3,5), 因为ka+ba+3b，所以2(k1)+3+5(k+2)=0, 所以 答案： (2)设 a， b， c，则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， 所以 (abc)2 (a2b2c22ab2ac2bc) 所以 即EG的长为 【通关锦锦囊】 高考指数重点题题型破 解 策 略 空间间向量的 数量积积的运 算问题问题 (1)定义义法: 设设向量a,b,则则 ab=|a|b|cos (2)坐标标法: 设设a=(x1,y1,z1), b=(x2,y2,z2), 则则ab=x1x2+y1y2+z1z2 证证明线线与 线线垂直问题问题 利用abab=0(a,b为为非零向量),可转转 化为为向量的垂直问题问题 ,进进而利用数量积积解 决 求线线段 长长度问题问题 利用公式|a|2=aa,可转转化为为求向量的模 的问题问题 ,或用两点间间距离公式求解 【关注题型】 空间间几何体 的参数问题问题 通过过向量的数量积积构造关于变变量 的方程或函数求参数或求解最值值 求三角形、 平行四边边形 的面积问题积问题 先求出cosa,b= 然后求出sina,b的值值，再利 用面积积公式求解 【特别提醒】应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取 空间向量的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹 角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标运算来解 决 【通关题组】 1.(2014随州模拟)已知空间四边形ABCD的每条边和对角 线的长都等于a，点E,F分别是BC,AD的中点，则 的值为( ) 【解析】选C.如图，设 a， b， c， 则|a|b|c|a，且a，b，c三向 量两两夹角为60. (ab)， c， 所以 (ab) c (acbc) (a2cos 60a2cos 60) a2. 2.(2014珠海模拟拟)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶顶点A 为为端点的三条棱长长都等于1,且两两夹夹角都是60,则对则对 角线线 AC1的长长是 . 3.(2014琼琼海模拟拟)如图图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F, G,H,M分别别是棱AD,DD1,D1A1,A1A,AB的中点,点N在四边边形EFGH的 四边边及其内部运动动,则则当N只需满满足条件 时时,就有 MNA1C1;当N只需满满足条件 时时,就有MN平面B1D1C. 【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 因此 (-1,1,0)=1-x- =0，即x= ,故点N在线段EG上，就有 MNA1C1.平面B1D1C的一个法向量为n=(-1,1,1)，若MN平 面B1D1C,则 n= (-1,1,1)=1-x- +z=0， 即x-z- =0,故点N在线段EH上，就有MN平面B1D1C. 答案：点N在线段EG上 点N在线段EH上 4.(2014郑郑州模拟拟)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1), c=(3,-2,z),ab,bc, 求(1)a,b,c. (2)a+c与b+c所成角的余弦值值. 【解析】(1)因为ab，所以 解得x=2,y=4， 此时a=(2,4,1),b=(2,4,1)，又因为bc，所以 bc=0，即6+8z=0，解得z=2，于是c=(3,2,2). (2)a+c=(5,2,3)，b+c=(1,6,1)，因此a+c与b+c所成角的 余弦值为 故a+c与b+c所成角的余弦值为 【加固训练】 1.(2014焦作模拟)已知空间三点A(0，2，3)，B(2， 1，6)，C(1，1，5)则以 为边的平行四边形的面积 等于( ) 【解析】选D.由题意可得： (2，1，3)， (1，3，2)， 所以cos 所以sin 故以 为边的平行四边形的面积 2(2014东北联考)已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)， P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当 取最小值时， 点Q的坐标是_ 【解析】设 (，2)， 则 (1，2，32)， (2，1， 22) 所以 (1)(2)(2)(1) (32)(22)621610 所以当 时， 取最小值为 此时， 即Q点的坐标是 答案： 3.(2014安庆模拟)已知ABC的顶点A(1,1,1)，B(2,2,2)， C(3,2,4)，试求: (1)ABC的重心坐标.