高一升高二暑假班教辅资料

乐教、诚毅、奉献、创新 1 高一升高二数学暑假班提纲 数列部分 第一讲 等差数列 2 第二讲 等比数列 8 第三讲 数列通项式的求法 14 第四讲 数列前 n 项和的求法 18 不等式部分 第五讲 基本不等式 22 平面解析几何部分 第六讲 直线的方程 29 第七讲 两直线的位置关系 33 第八讲 圆的方程 37 第九讲 直线、圆的位置关系 41 立体几何部分 第十讲 空间几何体的结构 47 第十一讲 空间几何体的三视图和直观图 50 第十二讲 空间几何体的表面积和体积 54 第十三讲 空间直线、平面之间的关系 62 第十四讲 空间直线与平面平行的关系 69 第十 五讲 空间直线与平面垂直的关系 75 乐教、诚毅、奉献、创新 2 数列部分 第一讲 等差数列 基 础 知 识 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数 d ，这个数列叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的公差 . n 项和公式 通项公式 1(1 ， 1a 为首项， d 为公差 . 前 n 项和公式2 )( 1 nn 或 1(211 . 如果 , 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 ，即 . 定义法： 1 d 是常数） 等差中项法：212 或 1 1； 若 ),( 则； 数列 数列 、 nn 都是等差数列，其中 p ，q 为常数； (a ,b 是常数 )， 2(a ,b 是常数， 0a )； 若等差数列 n 项和 ,232 构成等差数列； 是一个等差数列； 乐教、诚毅、奉献、创新 3 当等差数列项数为 )(2 则, 奇偶奇偶； 当等差数列项数为 )(12 则奇偶偶奇. 例 题 精 讲 题型 1、已知 等差数列的某几项，求某项 【例 1】 已知 20,86015 75a. 【变式训练】已知 ,（ , 互不相等），求题型 2、已知前 n 项和项数 【例 2】 已知n 项和， 63,6,994 n ； 若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为 780，求这个数列的项数 n . 【变式训练】已知前 n 项和， 1 0 0,7,1 41 则 n . 乐教、诚毅、奉献、创新 4 题型 3、等差数列的性质及应用 【例 3】 已知n 项和， 1006 a，则 11S ； 已知 ,99,1 0 5642531 n 项和，则使得n 是 ( ) 【变式训练】 在等差数列 1205 a，则 8642 数列 492 数列 n 项和n . 题型 4、等差数列的判断与证明 【例 4】 已知n 项和， )( 求证：数列 【变式训练】已知数列 n 项和为满足 42 2 求证 求 乐教、诚毅、奉献、创新 5 巩 固 练 习 1.105531 105531 20 ） A. n 项和，已知 32 a ， 116 a,则7 ） n 项和为 63S， 41a ， 则公差 d 等于 ( ) 2 2 n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 2 n 项和为 729 S,则 942 6,7253 6a. n 项和为 55635 4a . n 项和，327 550项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为 125，求其第 6项 等差数列 中，各奇数项之和为 75 ，各偶数项之和为 90 ，末项与首项之差为 27 ，则 n 的值是多少？ 乐教、诚毅、奉献、创新 6 知 34151296 前 20项之和 1273 464 它的前 20 项的和20 差数列 n 项和为已知前 6 项和为 36 ， 324后 6 项和为 6180 n ，求数列的项数 n 及 109 . n 项和分别为nS，32 13 8811a ， 21 ，设12 证明：数列 等差数列 . 乐教、诚毅、奉献、创新 7 直 击 高 考 ， *1 3 b， 1210b，则8a （ ） n 项和为35 5，则 59 1 92 0 , 2 8a a a . 求数列 若数列 设12b b b，且 1求 n 的值 . 差数列 n 项和为 53a， 22515 S. 求数列 设 nb 2 ，求数列 n 项和 乐教、诚毅、奉献、创新 8 第 2讲 等比数列 基 础 知 识 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 q ，这个数列叫做等比数列，常数 q 称为等比数列的公比 . n 项和公式 通项公式： 11 a q ， 1a 为首项， q 为公差 . 前 n 项和公式： 1 11或11 nn a a qS q . 如果 ,等比数列，那么 G 叫做 x 与 y 的等比中项 . 即： G 是 x 与 y 的等差中项 2G ,等比数列 . 定义法：1 （ q 是常数） 等比数列； 等比中项法 ： 212n n na a a( ,a q m n N ； 对于等比数列 , , ,m n k l N， 且 m n k l， 则m n k la a a a ， 特别地，若2m n p ， 则 2m n pa a a ； 若数列 q 的等比数列， 0其前 n 项和，则2 3 2,n n n S S仍成等比数列，其公比为 例 题 精 讲 题型 1、已知 等比数列的某几项，求某项 【例 1】 已 知 等比数列， 162,2 62 则 10a 乐教、诚毅、奉献、创新 9 【变式训练】已知等比数列 2 336a a a a ，求7a. 已知 6,3876321 131211 的值 . 题型 2、已知前 n 项和项数 【例 2】已知n 项和 ， 9348比 2q ，则项数 n . 【变式训练】已知 n 项和， 3 6 4,2 4 3,362 n . 题型 3、等比数列的性质及应用 【例 3】 等比数列 知 29 a，则此数列前 17项之积为 . 乐教、诚毅、奉献、创新 10 【变式训练】已知n 项和 ， 54602 题型 4、求等比数列前 n 项和 【例 4】等比数列 ,8,4,2,1 中从第 5项到第 10 项的和 . 【变式训练】设 16,151 数列 项的和 . 题型 5、等比数列的判断与证明 【例 5】 已知数列满足 ,11a *1 12 求证数列 1是等比数列 ； 求 通项公式 【变式训练】已知数列 3a，12 1nn a ， 1,2,3,n 证明：数列 1 1等比数列； 乐教、诚毅、奉献、创新 11 巩 固 练 习 1等比数列 73a，前 3 项之和 213 S， 则公比 q 的值为 （ ） A 1 B21C 1 或21D 1 或212在等比数列 果 66a， 99a，那么3 ） A 4 B23C916D 2 3若两数的等差中项为 6 ，等比中项为 5 ，则以这两数为两根的一元二次方程为（ ） A 02562 B 025122 C 02562 D 025122 4 设等比数列 q ， 前 n 项和为24 （ ） A 2 B 4 C215D2175等比数列 0109 2019，则10099 等于（ ） A899 C910106已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3 ，前 15 项之和为 39 ，则该数列的前 10 项之和为（ ） A 23 B 133 C 12 D 15 7某厂 2001 年 12 月份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍，则该厂 2001 年度产值的月平均增长率为（ ） A1111n C 112 n D 111 n 8已知等比数列 比 2q ，且 301 2 3 3 0 2a a a a ，那么3 6 9 3 0a a a a 等于（ ） A 102 B 202 C 162 D 152 9 在等比数列 知231a， 124 a ，则 q ， 乐教、诚毅、奉献、创新 12 10 在等比数列 知 51274 12483 公比为整数，求 10a 012 该数列的公比 q n 项和为 *131 ； 求1a，2证明数列 求 列 n 项和为已知 11a ， 241 nn 设1 ，证明 证明数列等差数列 . 14. 已知等比数列 7113 4，数列 77 ，求95 的值 . 在等比数列 14321 816151413 44434241 乐教、诚毅、奉献、创新 13 直 击 高 考 n 项和为 11a ， 131 6 ） A 443 B 143 4 C 34 D 143 q ，前项和为24 . 81121642442 则 5311 . n 项和为知 62 a ， 30631 5. 已知 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 且 2121 112 543 54311164求 设 21 数列 n 项和 ，311a，公比31q. 前 n 项和，证明：21 nn ； 设 nn 2313 lo g ，求数列 通项公式 . 乐教、诚毅、奉献、创新 14 第 4讲 数列通项式的求法 基 础 知 识 数列通项式的求法： 观察法； 公式法： 21 11 等差数列： 1 ； 等比数列： 11 nn 迭加法： 1；迭乘法： 1； 构造法： 1； 1； 12； 例 题 精 讲 题型 1、 利用观察法求 通 项 【例 1】数列 21a ， 21 nn 数列 题型 2、 利用公式法求 通 项 【例 2】 已知列 n 项和 ， 求下列 数列 项公式： 132 2 12 乐教、诚毅、奉献、创新 15 【变式训练】已知n 项和， 2,23 数列 项公式 . 题型 3、 利用迭加、迭乘法求 通 项 【例 3】 已知数列 11a ， 2121 数列 项公式； 已知 n 项和 ， 11a ，nn 2，求数列 项公式 . 【变式训练】已知数列 21a ， 12 1，求数列 项公式 . 题型 4、 构造法求数列 通 项 【例 4】 已知数列 11a ， 321 nn 数列 项公式 . 乐教、诚毅、奉献、创新 16 【变式训练】已知数列 11a ， 2321 nn 数列 项公式 . 【例 5】 已知数列 11a ， 21 ，求数列 项公式 . 【变式训练】已知数列 11a ， 31 ，求数列 【例 6】 已知数列 11a ， 22 a ，3 12 ，求数列 【变式训练】已知数列 11a ， 22 a ， 33231 21 数列 乐教、诚毅、奉献、创新 17 巩 固 练 习 )(,111 ，则数列 ) A 12 n B 2n C 1)1( n )(231 810a，则 4a ( ) A811B8180C271D2726 的正项数列，且 )(0)1(122 1 数列 11a ， 221 列 11a ，11 则 直 击 高 考 11a ， 421 数列 乐教、诚毅、奉献、创新 18 第 4讲 数列前 n 项和的求法 基 础 知 识 数列前 n 项和的求法： 公式法 等差数列： 等比数列： 1,111,11 拆项分组法 错位相减法 裂项相消法 11111 111； 111； 基本数列 2n 的 前 n 项和： 12161 n 例 题 精 讲 题型 1、拆项分组法求数列前 n 项和 【例 1】已知n 项和， 132 33331 ，求【变式训练】求数列 ， 321,211 ，n 321 的 前 n 项和 . 乐教、诚毅、奉献、创新 19 题型 2、错位相减法求数列前 n 项和 【例 2】已知n 项和， nn 12 ，求【变式训练】求和： 012531 12 题型 3、裂项相消法求数列前 n 项和 【例 3】求和： 1143 132 121 1 变式训练 1】求和 : 2153 142 131 1 变式训练 2】求和 : 1134 123 112 1 乐教、诚毅、奉献、创新 20 巩 固 练 习 3,6011 nn 数列 0 项的绝对值之和为 ( ) . 32 232221 2 2122 的结果为 ( ) A. 12 B. 22 1 C. 22 1 D. 22 2 n 的等差数列中，所有奇数 项和与 偶数 项和的比是 ( ) 2 2 1( 1 n，若 n 项和为20102009，则 项数 n 为 ( ) 321132112111 的结果为 . nn 22 数列 n 项和 . 乐教、诚毅、奉献、创新 21 直 击 高 考 n 项和， 11a ， )2(212 求 设12 数列 n 项和 132 21 6223 9 . 求数列 设nn 2313 lo g ，求数列前 n 项和 . 乐教、诚毅、奉献、创新 22 不等式部分 第五讲 基本不等式 基 础 知 识 一均值不等式 1.(1)若 , ，则 22 (2)若 , ，则222 （当且仅当 时取“ =”） 2.(1)若 *, ，则 2(2)若 *, ，则 （当且仅当 时取“ =”） (3)若 *, ，则 22 且仅当 时取“ =”） 3.(1)若 0x ，则 1 2(当且仅当 1x 时取“ =”） (2)若 0x ，则 1 2 (当且仅当 1x 时取“ =”） (3)若 0x ，则 1 1 12 2 - 2x x xx x x 即 或(当且仅当 时取“ =”） 3.(1)若 0则 2且仅当 时取“ =”） (2)若 0，则 2 2 - 2a b a b a bb a b a b a 即 或(当且仅当 时取“ =”） , ，则2)2(222 （当且仅当 时取“ =”） 注： （ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们 的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ； （ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等” ； （ 3） 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 乐教、诚毅、奉献、创新 23 例 题 精 讲 题型一、 求最值 【例 1】 求下列函数的值域 （ 1） y 3x 2 12x 2 （ 2） y x 1x 应用一、 凑项 【例 2】 已知 54x，求函数 14245yx x 的最大值 应用二、 凑系数 【例 3】 当 时，求 (8 2 )y x x的最大值 【变式训练】 设230 x，求函数 )23(4 的最大值 乐教、诚毅、奉献、创新 24 应用三、 分离 【例 4】 求 2 7 1 0 ( 1 )1 的值域 应用四、换元 【例 5】 求函数 2254的值域 注： 在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 () af x 的单调性。 应用五、 整体代换 【例 6】 已知 0, 0，且 191，求 的最小值 乐教、诚毅、奉献、创新 25 注： 次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错 应用六、 取平方 【例 7】 已知 x， y 为正实数， 3x 2y 10，求函数 W 3x 2y 的最值 . 【变式训练】 求函数 152 1 5 2 ( )22y x x x 的最大值 题型二、 利用均值不等式证明不等式 【例 8】 已知 a、 b、 c R ，且 1 。求证： 1 1 11 1 1 8 题型三、 均值不等式与恒成立问题 【例 9】 已知 0, 0且 191，求使不等式 x y m 恒成立的实数 m 的取值范围 乐教、诚毅、奉献、创新 26 题型四、 均值定理在比较大小中的应用 【例 10】 若 )2l g(),l ，则 , 的大小关系是 . 巩 固 练 习 1 求下列函数的最小值，并求取得最小值时 x 的值 . （ 1） 2 31 , ( 0 )（ 2） 12 , 33y x （ 3） 12 s i n , ( 0 , )s i ny x 2 已知 01x，求函数 (1 )y x x的最大值 . 乐教、诚毅、奉献、创新 27 3 203x，求函数 (2 3 )y x x的最大值 . 则 3 的最小值是 . o g l o g 2，求 11最小值 x,y 的值 . 且 12 求1的最小值 . , 且 1 的最小值 . x， y 为正实数，且 x 2 1，求 x 1 y 2 的最大值 . 乐教、诚毅、奉献、创新 28 a， b 为正实数， 2b a 30，求函数 y 1最小值 . a0， b0， (a b) 1，求 a b 的最小值 . 11若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值 . 12 已知 , 为两两不相等的实数，求证： 222 13正数 a， b， c 满足 a b c 1，求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8析几何部分 乐教、诚毅、奉献、创新 29 第六讲 直线的方程 基 础 知 识 1 直线的倾斜角与斜率： （ 1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 叫做直线的倾斜角 . 倾斜角 )180,0 , 90 斜率不存在 . （ 2）直线的斜率： t (2112 12 （ 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ） . 2 直线方程的 五 种形式： （ 1） 点斜式 ： )( 11 (直线 l 过点 ),( 111 且斜率为 k ) 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 （ 2） 斜截式 ： (b 为直线 l 在 . （ 3） 两点式 ：121121 xx (1212. 注： 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线； 方程形式为： 0)()( 112112 ，方程可以表示任意直线 （ 4） 截距式 ： 1分别为 x 轴 y 轴上的截距，且 0,0 注： 不能表示与 x 轴垂直的直线，也不能表示与 y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线 （ 5）一般式 ： 0 (其中 A、 B 不同时为 0) 一般式化为斜截式：，即，直线的斜率： 注： （ 1）已知直线纵截距 b ，常设其方程为 y kx b或 0x 已知直线横截距0x，常设其方程为0x my x(直线斜率 k 存在时， m 为 k 的 倒数 )或 0y 已知直线过点00( , )设其方程为00()y k x x y 或0 （ 2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合 乐教、诚毅、奉献、创新 30 3 直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为 0. （ 1）直线在两坐标轴上的 截距相等 直线的斜率为 1 或直线过原点 （ 2）直线两 截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点 （ 3）直线两 截距绝对值相等 直线的斜率为 1 或直线过原点 课 堂 练 习 1若直线过 ( 2 3， 9)， (6 3， 15)两点，则直线的倾斜角为 ( ) A 60 B 120 C 45 D 135 2已知 A(3,4)， B( 1,0)，则过 中点且倾斜角为 120的直线方程是 ( ) A. 3x y 2 3 0 B. 3x y 1 2 3 0 C. 3x y 2 3 0 D. 3x 3y 6 3 0 3如果 AC 0，且 BC 0，那么直线 C 0 不通过 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四 象限 4直线 y 2m 1 0 经过一定点，则该定点的坐标是 ( ) A ( 2,1) B (2,1) C (1， 2) D (1,2) 5已知函数 f(x) ax(a 0 且 a 1)，当 x 0 时， f(x) 1，方程 y 1 ) 6直线 3x 2y k 0 在两坐标轴上的截距之和为 2，则实数 k 的值是 _ 7如图，点 A、 B 在函数 y 4x 2)的图象上，则直线 方程为 _ 8 (2012潮州质检 )已知线段 端点的坐标分别为 P( 1,1)和 Q(2,2)，若直线 l： y 1与线段 交点，则斜率 k 的取值范围是 _ 9过点 P( 1， 1)的直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，若 P 恰为线段 中点，求直线 l 的斜率和倾斜角 10过点 A(1,4)引一条直线 l，它与 x 轴， y 轴的正半轴交点分别为 (a,0)和 (0， b)，当 a b 最小时，求直线 l 的方程 乐教、诚毅、奉献、创新 31 11设直线 l 的方程为 (a 1)x y 2 a 0(a R) (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围 课 后 作 业 1. 已知 10 a ，则直线 )1(lo g)12(: 不经过 （ ） A第 1象限 B第 2象限 C第 3象限 D第 4象限 2. 函数 y=,那么直线： c=0的倾斜角为（ ） A 450 B 600 C 1200 D 1350 m、 n，则点 P（ m,n）在直线 x+y=5左下方的概率为（ ） A61B41C121D3( 1（ 1,0 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+=0 上，其中 ，则1的最小值为 . l 经过 )1,2(A ， ),1( 2点 )( ，那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ),0 B. ),24,0 C. 4,0 D. ),2(4,0 乐教、诚毅、奉献、创新 32 l O x M Q P y m 6. 如果实数 满足条件 101010 ，那么 14 ( )2 ） A 2 B 1 C 12D 147. 过点 5 4，作一直线 l，使它与两坐标 轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5求此直线的方程 . 8. 如图 ,为了绿化城市，拟在矩形区域 外 过测量 00m,0m,0m,0m,应该如何设计才能使草坪面积最大？ 9. 已知直线 : 和点 P(3,1),过点 m 与直线 l 在第一象限交于点 Q，与 ，若 为等边三角形，求点 x y A E P F D R C Q 乐教、诚毅、奉献、创新 33 第七讲 两直线的位置关系 基 础 知 识 1 两条直线的 平行和垂直 ： （ 1）若1 1 1:l y k x b，2 2 2:l y k x b 212121 ,/ ； 1 2 1 2 1l l k k . （ 2）若 0: 1111 0: 2222 有 1221122121 / 且 0212121 2平面两点距离公式： (1 1 1( , )P x y、2 2 2( , )P x y) ， 22122121 )()( x 轴 上 两 点 间 距 离 ：AB 线段 21中点是 ),(00 22210210 3点到 直线的距离公式 ： 点 ),(00 的距离：2200 4两平 行直线间的距离： 两条平行直线 00 2211 ，： 距离：2221 5直线系方程： （ 1）平行直线系方程： 直线 y kx b中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程 与直线 :0l A x B y C 平行的直线可表示为1 0A x B y C 过点00( , )P x 0l A x B y C 平行的直线可表示为：00( ) ( ) 0A x x B y y （ 2） 垂直直线系方程： 与直线 :0l A x B y C 垂直的直线可表示为1 0B x A y C 乐教、诚毅、奉献、创新 34 过点00( , )P x 0l A x B y C 垂直的直线可表