通信第2章随机信号分析.ppt

2.1 信号表示法 2.2 信号频谱分析概述 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程 2.5高斯过程 2.6窄带随机过程 2.7正弦波加窄带高斯过程 2.8 随机过程通过线性系统 第 2 章 随机信号分析 v 信号的时频域基本分析方法 v 随机变量、随机过程统计特征及重要关系 v 自相关函数与功率谱分析 v 白噪声与限带、窄带高斯噪声特点 v 随机过程通过线性系统 学习要点 第2章 随机信号分析 3 2.1 信号表示法 v周期与非周期信号 周期信号f(t)满足下列条件： 非周期信号没有周期性，一般多为有限持续时 间的特定时间波形 通信系统所指的信号一般指随时间变化 的信号 第2章 随机信号分析 4 2.1 信号表示法 v确知和随机信号 确知信号的特征是：对于指定的某一时刻， 可确定一相应的参量取值。 随机信号：信号的某一个或更多参量具有不确 定取值。 第2章 随机信号分析 5 2.1 信号表示法 v能量与功率信号 能量信号：能量有限的信号。 功率信号：平均功率有限的信号。 能量信号的总平均功率等于0。 功率信号的能量趋于无限大。 第2章 随机信号分析 6 2.1 信号表示法 v模拟与数字信号 模拟信号：连续波，主要参量的取值有无限 个可能。 数字信号：参量取值可数且有限。 第2章 随机信号分析 7 v基带与频带信号 基带信号：从信源发出的信号，未经调制。 主要能量在低频段。又称为低通信号。 频带信号：调制后的信号。又称为带通信号 。 2.1 信号表示法 第2章 随机信号分析 8 2.2 信号频谱分析概述 v傅里叶级数 三角级数形式 余弦函数形式 指数级数形式 v傅里叶变换 第2章 随机信号分析 9 2. 3 卷积与相关 v卷积 卷积定理 调制定理 第2章 随机信号分析 10 卷积与相关 v相关 自相关函数 互相关函数 周期信号利用 第2章 随机信号分析 11 卷积与相关 v卷积与相关关系 第2章 随机信号分析 12 能量谱、功率谱及帕氏定理 v能量谱密度 若存在傅里叶变换对 为能量信号，则其能量谱与其自相关函数是一 对傅立叶变换，即 是能量谱，或称能量谱密度。它表示能量 信号每单位频带所持有的能量 第2章 随机信号分析 13 能量谱、功率谱及帕氏定理 v功率谱密度 若存在傅里叶变换对 为功率信号，则其功率谱与其自相关函数是一 对傅立叶变换，即 是信号f(t)以时段T截短后的频谱函数 是其相应的能量谱 第2章 随机信号分析 14 能量谱、功率谱及帕氏定理 v帕氏定理(Parseval)信号能量与功率的计算 （1）时域 （2）频域 第2章 随机信号分析 15 能量谱、功率谱及帕氏定理 （3）相关域 （4）帕氏定理 能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率 的积分等于信号的能量或功率，并且在时 域、频域积分，以及自相关函数 时，三者计算结果是一致的。 第2章 随机信号分析 16 2.3 随机变量的统计特征 v随机变量（一维、二维、多维） 概率分布函数 概率密度函数 数字特征 v常用的随机变量类型 均匀分布 高斯分布 第2章 随机信号分析 17 2.4 随机过程 v概念 随机信号和噪声统称为随机过程。 v定义 含有某一个参数的随机变量之和。 设 是一实验的样本空间。若对于每个 有一时 间函数 与之对应，于是对于所有 有一簇 时间t的函数存在，则称该簇时间函数为随机过程。 v特点 若 都取定值， 是一固定值 若 取定，t不定， 是样本函数 若 不定，t定， 是随机变量 若 都不定， 是随机过程 第2章 随机信号分析 18 第2章 随机信号分析 19 随机过程的统计特征 v随机过程的概率分布函数与概率密度函数 一维 二维 多维 概率密度函数 第2章 随机信号分析 20 随机过程 随机过程通过概率密度函数和分布函数来表述其统计特性。 设(t)为一随机过程，它在任一时刻t1的取值(t1)为一随机变量 。其统计特性可用： 分布函数 F1(x1 ,t1)=P(t1) x1 或 概率密度函数 来描述。 随机过程(t)的一维概 率密度函数 仅仅 用时刻t1随机变量(t1) 的统计特性来描述随机 过程。 随机过程(t) 的一维分布函 数 仅仅 用时刻t1随机 变量(t1)的统 计特性来描述 随机过程。 第2章 随机信号分析 21 随机过程的n维分布n维概率密度函数和n维分布函数: n维分布函数 Fn(x1,x2,xn;t1,t2 ,tn) =P(t1)x1,(t2)x2 ,(tn)xn n维概率密度函数 多维分布可以更“精确”的描述随机过程的统计特性。 第2章 随机信号分析 22 随机过程的一般表述概率密度函数和分布函数 随机过程概率密度函数和分布函数举例正态分布随机过程 xx10 F()=P(t)= 1F(x1)=P(t)x1 (阴影面积） 第2章 随机信号分析 23 随机过程概率密度函数和分布函数实用意义举例 xVT0A 判决时钟 二进制数字信号 A 0 Pe1Pe0 第2章 随机信号分析 24 随机过程的统计特征 v随机过程的统计特征 期望 方差 自协方差 自相关函数 第2章 随机信号分析 25 随机过程的统计特征 第2章 随机信号分析 26 随机过程的统计特征 v结论: v 1 数学期望 和方差 描述了随机过程在各 个孤立时刻的特征，但没有反映随机过程不同 时刻之间的内在联系。 v 2 自相关函数 和自协方差函数 是用来衡 量同一随机过程在任意两个时刻上的随机变量 的相关程度。 第2章 随机信号分析 27 平稳随机过程 v定义 n维概率密度函数不随时间变化而变化，则称严平稳 或窄平稳。 v平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而 不同，它的一维分布与t无关，二维分布只与 时间间隔有关 v宽平稳（满足 一维和二维平稳条件） 数学期望与t无关，为常数 自相关函数只与时间间隔有关，=t2-t1 第2章 随机信号分析 28 平稳随机过程 第2章 随机信号分析 29 遍历性平稳随机过程 v遍历性各态历经性（它的一个实现遍历了它所有 过程） v定义 如果一个平稳随机过程，其任何一个样本函数的时间平 均等于相应的统计平均，则称为遍历性平稳随机过程。 时间平均统计平均 第2章 随机信号分析 30 v均值 v方差 v自相关函数 遍历性平稳随机过程 第2章 随机信号分析 n“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实 现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 在求解各种统计平均（均值或自相关函数等） 时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考 察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“ 统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题 大为简化。 n具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反 之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信 号和噪声，一般均能满足各态历经条件。 31 遍历性平稳随机过程 第2章 随机信号分析 32 遍历性平稳随机过程 v广义平稳 均值为常数 自相关函数与时间起止无关，而与时间间隔有关 v遍历平稳 时间均值 时间自相关函数 第2章 随机信号分析 33 n 例3-1 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量 。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望 遍历性平稳随机过程 第2章 随机信号分析 34 自相关函数 令t2 t1 = ，得到 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关， 只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。 遍历性平稳随机过程 第2章 随机信号分析 35 (2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。 遍历性平稳随机过程 第2章 随机信号分析 36 平稳随机过程的相关函数性质 v设(t)为宽平稳随机过程 (t)的平均功率 (t)的直流功率 (t)的交流功率 自相关函数是偶函数 自相关函数是双边非增函数 自相关、自协方差和均值之 间的关系 第2章 随机信号分析 37 平稳随机过程的功率谱 v自相关函数与功率谱的关系 平稳随机过程的自相关函数与功率谱是一对傅里叶变 换。 v功率谱的性质 非负性 实偶性 平均功率=R(0) 具有微分特性 第2章 随机信号分析 38 v设(t)的功率谱密度为P() v(t)的某一实现的截短函数T(t) vT(t)与FT() 是一对傅立叶变换对 v则 第2章 随机信号分析 39 第2章 随机信号分析 40 v令 t=t2, 则dt=dt2; =t1-t2, dt1=d 第2章 随机信号分析 41 v积分区间可以分为0， 0 v所以 第2章 随机信号分析 42 平稳随机过程 习题： 第2章 随机信号分析 43 2.5 高斯过程 v高斯过程又称正态随机过程，它是一种普遍存 在和重要的随机过程。在通信信道中的噪声， 通常是一种告诉过程，故又称为高斯噪声。 v高斯过程的n维概率密度函数用下式表示: 第2章 随机信号分析 44 第2章 随机信号分析 45 高斯随机过程的一维正态分布 v高斯随机过程的一维正态分布 v 若随机变量 的概率密度函数为: v v 则称 为服从正态分布的随机变量。其中: 为数学期望， 为方差， 第2章 随机信号分析 46 一维分布 概率密度函数 f(x)对称于直线x= f(x)在(-，)单调升,在( ，)单 调降,在x=处取最大值,当 x时，f(x) 0. x0 f(x)曲线下面积： 在x=左右侧各1/2。 对于不同值，表现为f(x)曲线左 右平移；对于不同值， f(x)曲线 图形随的减小而变高和变窄， 曲线下面积不变。 高斯随机过程的一维正态分布 第2章 随机信号分析 47 高斯随机过程的一维正态分布 第2章 随机信号分析 48 正态分布 第2章 随机信号分析 49 zx0 When x(2.5-12) When x(2.5-13) 第2章 随机信号分析 50 When x When x 高斯过程正态分布随机过程 第2章 随机信号分析 51 几个有用的公式 第2章 随机信号分析 52 几个有用的公式 第2章 随机信号分析 53 高斯白噪声 v理想的宽带过程 白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布 的噪声。 对电子通信系统影响最大而无法根除的热噪声， 其统计特性符合告诉过程特性。 在任何电子通信系统中，将不再具体区分白或热 噪声，可将加性热噪声说成加性高斯白噪声（ AWGN）。 第2章 随机信号分析 54 高斯白噪声 v严格地说，白噪声只是一种理想化模型，因为实际噪 声的功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则它的 平均功率将是无限大，是物理上不可实现的。然而， 白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的 有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽 度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其 频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作 为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的 频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它 们是白噪声 第2章 随机信号分析 55 白噪声(宽带过程)与带限白噪声 白噪声： 带限白噪声: f P() R() 0 0 f P() R() 0 0-fOfO -1/2fO1/2fO 第2章 随机信号分析 56 高斯过程与高斯白噪声特征 v高斯过程的一维统计特征只取决于均值与方差 ；二维统计特征主要取决于自协方差或自相关 函数 v高斯过程若广义平稳，则同时也等效于严平稳 v高斯过程内部不同时刻的随机变量间若存在不 相关，也同时等效于统计独立；或两个高斯过 程间若不相关，也等效于统计独立 v高斯过程通过线性系统的响应或高斯过程的线 性组合均仍为高斯随机过程。 第2章 随机信号分析 57 v对于高斯白噪声，除上述特征外，还有其他特 征 v高斯白噪声对通信信号的干扰为加性，较乘性 干扰处理相对简便 v高斯白噪声各时刻随机变量间不相关，且统计 独立 v窄带高斯噪声特点 高斯过程与高斯白噪声特征 第2章 随机信号分析 58 2.6 窄带高斯过程 v窄带是指频谱均被限制在载波或某中心频率附 近一个窄的频带上,而这个中心频率离开零频率 又相当远。 v如果这时的信号或噪声是一个随机过程,则称它 们为窄带随机过程。 v在通信系统中,许多实际信号和噪声都满足窄带 的假设。 第2章 随机信号分析 59 v 大多噪声的频带是很宽的。例如： v 热噪声：01013Hz v 散弹噪声：0108Hz v 然而，许多通信系统的传输信道具有窄带特性，例如：无线 电通信中的移动电话、语音广播、电视、数据传输系统中，信号 频谱被限制在某一“载频”附近的一个窄带范围内。例如： v 某FM语音广播信号：95.9MHz25kHz v 某电视台综合频道信号：865MHz4MHz v 由于通信接收机的输入端都有和接收信号相适应的选频电路 （滤波器），用于去除带外杂波和干扰。原本宽带的噪声，只有 落入信号频带的部分对通信系统的性能（失真或误码）产生影响 。因此我们说通信信号和噪声都满足“窄带”假设。这种对通信性 能形成影响的“窄带噪声”就被称为窄带随机过程。 2.6 窄带高斯过程 第2章 随机信号分析 60 0f0-f0f(Hz) 单频正弦波频谱 0t(s) 单频正弦波波形 0f0-f0f(Hz) 窄带信号或噪声频谱 0t(s) 窄带信号或噪声波形 窄带信号可 视为包络和相位 不断变化的 “ 正 弦波 ” ，变化的 越缓慢，占用频 带就越窄。 2.6 窄带高斯过程 第2章 随机信号分析 61 2.6 窄带高斯过程 窄带波形的频谱及示意波形 第2章 随机信号分析 62 v窄带随机过程可表示： v 是窄带随机过程(t)的包络函 数、随机相位函数，其变化比载波缓慢的多。 2.6 窄带随机过程 第2章 随机信号分析 63 v窄带随机过程也可表示为同相分量与正交分量 的形式 v同相分量 v正交分量 2.6 窄带随机过程 第2章 随机信号分析 64 2.6 窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程 设窄带随机过程(t)是平稳、零均值高斯分布，则： 我们将分析确定： 随机包络和随机相位 的统计特性； 同相分量和正交分量 的统计特性。 第2章 随机信号分析 65 2.6 窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程 设窄带随机过程(t)是平稳、零均值高斯分布，则： 同相分量和正交分量 的统计特性： (2.6-16) (2.6-17) 第2章 随机信号分析 66 结论A：设(t) 是零均值的窄带平稳高斯随机过程： 则其同相分量和正交分量 分别同样是平 稳高斯随机过程,且均值都为零、方差也相同。 另外在同一时刻，二者是不相关的（统计独立）。 2.6 窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程 (2.6-18) 第2章 随机信号分析 67 2.6 窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程 假设窄带随机过程 是平稳、零均值高斯分布，则： 随机包络和随机相位 的一维分布： (2.6-20) (2.6-21) 瑞