N阶行列式毕业论文.doc

目录1.引言32. n阶行列式32.1 n阶行列式的概念32.2 n阶行列式的性质43.n阶行列式的计算方法113.1 定义法113.2化为三角形法123.3 降阶法133.4 递推法143.5 利用范德蒙行列式（Vandermonde）法163.6 加边法（升阶法）.163.7 归纳法183.8 分解行列式法（拆项法）203.9 分离线性因子法213.10 构造法223.11镶边法233.12 利用因式定理法253.13 利用拉普拉斯定理法263.14 交换元素法273.15 利用乘法定理法273.16 待定系数法283.17 析因子法283.18 公式法293.19 规律缺损补足法303.20 特征根法324. n阶行列式的应用334.1 行列式在证明微分中值定理中的应用334.1.1 拉格朗日（Lagrange）中值定理334.1.2 柯西中值定理334.2 行列式在求逆矩阵中的应用344.3 行列式在多项式理论中的应用344.4 行列式在解析几何中的应用354.4.1 在向量积、混合积中的应用354.4.2在面积、体积中的应用354.4.3在求解几何图形方程中的应用364.5 行列式在求解线性方程组中的应用365. 总结365. 谢辞377.参考文献38 N阶行列式的几种计算方法及其应用 1.引言 高等代数是数学类专业的一门重要的基础课,而行列式又是高等代数课程里基本而又重要的内容之一。在数学中有着广泛的应用，因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文主要进行归纳总结了20种行列式计算方法和在数学其他方面的5种应用，并通过一些典型的例题介绍，计算行列式的一些技巧。行列式的计算方法作为处理行列式的重要的方法,在学习行列式的计算方法之后,我们不仅仅只会计算行列式,还要学会更深层的问题,要学会观察,联想,猜想.学会用行列式的计算方法去解决在高等代数中遇到的问题。 下面主要介绍了N行列式的概念,行列式的计算方法,以及行列式在高等代数中的几个应用.2. n阶行列式2.1 n阶行列式的概念n阶行列式的定义:n阶行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1,2n的一个排列。每一项中把行下标按自然顺序排列后，其符 号由列下标排列的奇偶性决定。当是偶排列时取正号，当是奇排列时取负号，即 1=2.2 n阶行列式的性质性质1(对称性) 行列互换，行列式不变，即= 证明：元素位于上式右端的第j行第i列，将上式右端按列的顺序 展开得右端=左端 将行列式 的行、列互换，得到一个行列式 这个行列式称为D转置，记作或.因此，性质1说明:行列式 的转置与原行列式相等.从性质1可知：行列式中有关行的性质对于列也同样成立，反之亦然.性质2（提公因式性） =k 这就是说，行列式中某一行的公因子可以提出来，或者说，用一个数来乘行列式的某一行（即用此数乘这一行的每一个元素）就等于这个数乘此行列式。证明：上式左端= = =右端.关于列也有类似的性质，即=k.这可以由性质1及性质2给以证明：= =k=k性质3（可加性） =+这就是说，如果行列式中某一行（如第p行）是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数为这一行（第p行）的元素，而除去这一行以外，这两个行列式的其他各行与原来行列式的对应各行都相同的。 证明：左端 = = + =右端这一性质显然可以推广到某一行为多个数的和的情形.性质4（交错性） 互换行列式中两行的位置，行列式反号，即 =-证明：由定义，左端=现在在右端的行列式中仍然是不同行不同列的.所以它们的乘积也是右端行列式的一个项.但是在右端位于第q行第列；在右端位于第p行第列.所以这个项的因子在这种顺序下它们的行标与列标所成的排列分别是及 排列是从自然顺序中将p,q对换而得的，所以这是一个奇排列.所以这一项作为右端行列式的展开式中的一项，前面的符号应是=从而 右端=左端.性质5（比例性） 如果行列式中有两行成比例，那么行列式等于零，即 证明：首先证明一个特殊情形，即k=1的情形： 此时，根据性质4，把第p,q两行对换，得 =-所以 2=0即原行列式=0根据这个特殊情形，由性质2即可得到性质5，即=0性质6（初等变换性）行列式的某一行加上另一行的k倍，行列式不变，即=证明：右端= =+0=左端注：上述性质对于行列式的列也成立。3.n阶行列式的计算方法3.1 定义法 利用 n 阶行列式的定义计算其值.例1 计算 n 阶行列式解: 据行列式的定义, 行列式展开后每项都是 n个元素相乘, 且这 n 个 元素是中位于不同行与不同列的, 故中只有一个非零项 12( n- 1) n=n! 这一项行标为自然数顺序排列, 对应的列标构成的排列为 23n1, 其逆序数为 n- 1, 故 =3.2化为三角形法运用行列式的性质把行列式变换成位于主对角线一侧的所有元素全等于零, 这样得的行列式等于主对角线上元素的乘积, 对于次对角线的情形, 行列式的值等于与次对角线上所有元素的乘积。（1）上（或下）三角形行列式（2）非主对角的三角形行例 2. 计算 n 阶行列式解: 这个行列式的特点是每一行有一个元素 a,其余 n- 1 个元素是 b, 根 据行列式的性质, 把第二列加到第一列, 行列式不变, 再把第三列加到第一列,行列式不变, , 直到第 n 列也加到第一列, 即得 =a+(n-1)b 第二行到第 n 行都分别加上第一行的(- 1)倍,就有3.3 降阶法运用行列式按行( 列) 展开的相关定理使高阶行列式转化为低阶行列式来计算其值.例 3. 计算 n 阶行列式解: 据行列式按行展开定理, 将按第一行展开, 则 将后面的行列式按第一列展开, 则3.4 递推法利用已给的行列式的特点,建立起n阶行列式与n一1阶行列式(或更低阶)行列式之间递推关系式,利用这个关系式求行列式的值.降阶递推法,常见的有两类.1. 型；这是根据地推关系有：2. 型这时我们可以设是方程的根，则 ，于是有： （1） （2）若，则由（1）和（2）得 注意又由(1)和(2)递推可得 若，则（1）和（2）变为 即 于是 依次作下去可得： 例 4. 计算 n 阶行列式解: 将 按第一行展开后再将第二个行列式按第一列展开得 即 此式对一切 n 都成立, 故递推得 （1）在上式中 的地位等同, 故同理可得 （2）（2） -（1）得 故 3.5 利用范德蒙行列式（Vandermonde）法 利用范德蒙行列式的结果计算 n 阶行列式.范德蒙行列式D=例5 计算下列行列式解：从第i行可以提取公因式i(i=1,2,3,n)有 3.6 加边法（升阶法）.在运算中可以通过增加一行一列, 使行列式在原来的基础上增加一行一列（增加的一行一列元素一般是由0 和1构成）, 同时保证行列式的值不变, 从而使行列式的计算变得容易把n 阶行列式转化为n+1阶行列式，只要巧妙地选取 结合行列式的性质例6 计算解： 3.7 归纳法 利用数学归纳法来计算( 证明) 某些 n 阶行列式.例7 利用数学归纳法证明证明：当时有： 命题成立。假设时，命题成立，要证时，等式成立。 b按最后一行展开得： 将 按最后一列展可得= 将 前列加到最后一列得按最后一列展开得：=所以 因为 ，所以 故本题得证.注：本题可按行列式定义展开，也可按行或者列展开，还可将第行 乘以都加到第1行，再按第1行展开。同样可证得此式 3.8 分解行列式法（拆项法） 分解行列法的原理:如果行列式某行(列)是两行(列)之和,将行列式分解为两个行列式的和,然后再利用性质进行计算。例8 计算 n级行列式 解：（1）当y=z时，容易计算的 （2）当时，将n列写成两项和 那么可以拆成两个行列式之和，即，其中 因此有，根据y,z的对称性，类似可得：作差可得 即 3.9 分离线性因子法 分离线性因子法是把行列式看成含其中一个或多个字母的多项式,变换它,如果发现它可被一些线性因子所整除且这些线性因子互质,则它可被这些因子的积整除。例9 计算二阶Vandemronde行列式解：将看作的多项式,因为时故可被除尽,从而可被除尽,于是按最后一行展开,可知是关于的n-1次多项式且,的系数等于的vnadermonde行列式,故由上面的等式可知多项式中不含且因此 由此递推式即可得到 3.10 构造法 构造法是根据题设条件构造一个新行列式,然后再利用性质进行计算.例10 计算 解:根据行列式的特点,把原行列式加一行一列构造成范德蒙行列式,即 这是一个关于y的n阶多项式，由于是中的系数的相反数,由上式右端可知的系数为.故原行列式的值就是3.11镶边法 利用行列式按行(列)展开的性质,把n阶行列式通过加行(列)变成与之相等的n+1阶行列式,利用行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更多为零的元素后再进行计算.添加的行与列一般有四种方式,分别是添加在:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列.当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置.(1)添加首行首列或末行末列.注意：能够利用镶边法的题目往往具有如下两种特征之一:(1)各行(列)有 很多相同的元素,但是直接利用行列式的性质把一行(列)的适当的倍数加到其它行(列)的时候不容易变成三角形行列式,或者说出现的零的个数还不够多;(2)添加一行(列)后能够跟范德蒙行列式联系起来例11 计算行列式解： 3.12 利用因式定理法 利用行列式的性质找出行列式的所有因式,从而得到行列式的值.我们利用行列式的定义的展开式观察出行列式的展开式(多项式)的次数特征,如果该次数与我们找到的所有因式的乘积的次数相同,就利用展开式的首项系数对因式的乘积的系数进行调整,之后得到的就是行列式的值了.例12 计算解：展开式可以看成关于x的多项式，显然有,这是因为分别令时,行列式恰好有两行相同,行列式的值为零.因此行列式的展开式中有因子所以,又行列式首项系数为1,故注意：能够利用因式分解定理进行计算的行列式的特征是:这类行列式一般是含有文字变量的行列式,当某个变量取某个特定值的时候行列式的值为零,则该行列式必含有某个特定因子.类似的题目如:、等等3.13 利用拉普拉斯定理法拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展开定理的推广在应用拉普拉斯定理时，为了计算上的方便，一般先利用行列式的性质对原行列式进行变形，再按含零多的 k 行或 k 列展开 例13 计算2n阶行列式解 : 3.14 交换元素法令 不难证明是的代数余子式3.15 利用乘法定理法 在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单例15 算n阶行列式 解: 所以，当n2时，；当n=2时，；当n=1时， 3.16 待定系数法 此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想是：若行列式中含有未定元x，则行列式一定是关于x的一个多项式，且当 取某些值，如 x=a能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论,则行列式一定可以被x-a这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到行列式的值例16 计算解：显然是一个关于x的n-1次的多项式，不妨记为;且当时，根据行列式的性质，都有：即都是的因子且互质，所以它们的乘积也是 的因子，通过比较 的系数，知3.17 析因子法 析因子法思想是:若行列式中含有未定元x,则行列式一定是关于x的一个多项式,且当x取某些值,如x=a能够使行列式的值为零,根据多项式整除理论,则行列式一定可以被x-a这个线性因子整除,也即行列式的表达里应该有这个因子，如果可以找出行列式的所有因子,求出待定常数即可得到行列式的值。例17 计算 解:令f(x)=D显然它是一个关于x的n-1次的多项式,易见对 i=1,2,n-1,f(i)=0,即 (x-1),(x-n+1)是f(x)的因子,且互质,所 以他们的乘积还是f(x)的因子,通过比较的系数知3.18 公式法根据分块矩阵的知识，不难证明如下结论：（1） 设A为n阶可逆矩阵,为n维列向量，则有 （2） 设A为n阶可逆矩阵,为n维列向量，则有 （3） 设A，B，C，D都是n阶方阵，且A可逆，则有 有些行列式可应用上述结论计算，用上述结论计算行列式的方法，我们称为公式法例17 计算n阶行列式 解 令 A=则由结论（2），得 3.19 规律缺损补足法此法多用于除去某些行列或对角线的元素后行列式的各元素具有规律性，此时就须补足规律，而后再减去某些元素。例19 计算 解：（1）若 时= (*)这里, , 所以(*)式= （）（2）若存在 ，则 这时（）同样适用，因而（）为计算公式.3.20 特征根法 此法用于行列式所对应矩阵的特征根已知或易求的情况下，利用，其中为的特征根.例20 已知的特征根之模长均小于1，求证.证明:首先没有零特征根，否则存在可逆阵，使得 所以，= 所以，1为的特征根矛盾. 设，所以，所以，-1即2,所以，即0.4. n阶行列式的应用4.1 行列式在证明微分中值定理中的应用4.1.1 拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数f满足条件（1）f在闭区间a,b上连续；（2）f再开区间（a,b）上可导， 则在（a,b）上至少存在一点，使得证明：我们可以构造行列式辅助型函数来证明定理设 因f(a)在a,b上连续，在（a,b）内可导，所以在a,b上连续，在（a,b）内可导，且=0故由罗尔定理知，至少存在一点使得 所以 4.1.2 柯西中值定理若函数和满足条件（1） 在a,b上都连续；（2） 在（a,b）上都可导；（3） 和不同时为0；（4） .则存在，使得证明：设 由于是,的多项式函数，从而在在a,b上都连续，在（a,b）上可导，利用行列式性质易见故由罗尔定理知，至少存在一点，使得，由此可得 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 设则A是非奇异矩阵充分且必要条件是，且当时，A的逆矩阵其中是A的伴随矩阵。4.3 行列式在多项式理论中的应用例1 证明一个n 次多项式至多有n 个互异根。证明：设有n+1个互异的零点 ，则有 即 这个关于的齐次线性方程组的系数行列式 因此，这个矛盾表明至多有n个互异的根4.4 行列式在解析几何中的应用4.4.1 在向量积、混合积中的应用设O;i,j,k为右手直角坐标系，因为，所以4.4.2在面积、体积中的应用以，为邻边的平行四边行的面积为以，以相邻棱的平行六面体的体积为4.4.3在求解几何图形方程中的应用（1） 过不同两点，的平面直线L的方程为（2） 过不共线的三点，的平面的方程为 4.5 行列式在求解线性方程组中的应用若线性方程组的系数矩阵的行列式，则（1）有唯一解 这里的矩阵是用（1）的常数项所成的列向量替换A第i所得到的n阶矩阵.5. 总结 本文主要论述了行列式的定义、性质、计算方法及其应用。在其计算方法上主要介绍定义法、化为三角形方法、降阶法、递推法、范德蒙行列式法、 加边法、归纳法、分解行列式法、分离线性因子法、构造法、镶边法、因式定理法、拉普拉斯定理法、交换元素法、乘法定理法、待定系数法、析因子法、公式法、规律缺损补足法、特征根法等。在其应用上主要介绍行列式在证明微分中值定理中的应用、求逆矩阵中的应用、多项式理论中的应用、解析几何中的应用及其在求解线性方程组中的应用等。在本文中依次对每个计算方法以具体例子相应求解过程，对于每个应用也以具体例子给出。5. 谢辞在论文完成之际,我要特别感谢我的指导老师赵大方热情关怀和悉心指导。在我撰写论文的过程中,赵老师倾注了大量的心血和汗水,无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面,还是在论文的研究方法以及成文定稿方面,我都得到了赵老师悉心细致的教诲和无私的帮助,特别是他广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益,这些在我的人生道路上给予了决定性的帮助,另外教务处在我们的整个过程中提供了巨大的帮助和支持,这对我今后走向社会有着重要