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第四节 重积分应用举例 一、体积 曲顶柱体的体积为： 2空间区域的体积为： 利用二重积分可以计算空间立体的体积. 例1 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分 , 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 被圆柱面 所截得的 解: 设 由对称性可知 例2 求球体 (含在柱面内的)立体的体积. 例3 求半径为R的球面: 与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积. R r=2R cos . . M r z 0 x y = 二、曲面的面积 设曲面的方程为： 如图， 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： 解 例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分 , 则所求体积为 例3、求 x2 + y2 = a2 与 x2 +z2 = a2 相截得立体的 表面积 . 解 例4、求球面x2 + y2 +z2 = a2的表面积 . 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 三、质心(重心) 1、平面薄片的质心(重心) 设有一平面薄片，占有xOy面上的有界闭区域D， 其面密度为 (x,y)，设 (x,y)在D上连续，则由 得平面薄片的重心 为 . 当薄片是均匀的，质心称为形心(或中心). 解 因区域 D 关于 y 轴对称， 故形心在 y 轴上 ， 区域D的面积 回顾定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 2、空间物体的重心 当物体是均匀的，重心称为形心. 四、转动惯量 1、平面薄片的转动惯量 薄片对于 x 轴的转动惯量 薄片对于 y 轴的转动惯量 设有一平面薄片，占有xOy面上的有界闭区域D， 其面密度为 (x,y)，设 (x,y)在D上连续，则 薄片对于原点的转动惯量 解如图建立坐标系： 对 y 轴的转动惯量为： 同理：对 x 轴的转动惯量为： 解 2、空间物体的转动惯量 对于 x 轴的转动惯量： 对于 y 轴的转动惯量： 对于 z 轴的转动惯量： 解 G为引力常数 物体对点 处处单位质点的引力 五、引力 1、空间物体对质点的引力 解由积分区域的对称性知 解由积分区域的对称性知 薄片对 轴上单位质点的引力 G为引力常数 2、平面薄片对质点的引力 解由积分区域的对称性知 所求引力为 几何应用：立体的体积、曲面的面积 物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力 （注意审题，熟悉相关物理知识） 六、小结 思考题 例3、求 x + y
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