《重积分定义》PPT课件.ppt

第十五章 一元函数积分学 推广 多元实值函数积分 二重积分 三重积分 第一类曲线积分 第一类曲面积分 二 重 积 分 1 第一节 二重积分的概念与性质 一、引例 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质 2 借鉴求曲边梯形面积的思路: 一、引例 给定曲顶柱体: 1、曲顶柱体的体积 底面: xoy 面上的有界闭域 D. 顶面: 连续曲面 侧面: 以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面. 求其体积. 解: “分割、 近似、 求和、 取 极限” . 平顶柱体体积=底面积高 3 1）“分割” 用任意曲线网将区域 D 分成 n 个小区域 以它们为底面将曲顶柱体 分为 n 个小曲顶柱体， 2）“近似” （用小平顶柱体体积近似小曲顶柱体体积) 在每个中, 任取一点则有 体积记作 4 3）“求和” 4）“取极限” 定义的直径为： 令取极限，得 5 2、平面薄片的质量 有一平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密度为 计算该薄片的质量M. 解:记 D 的面积为 , 则 若 不是常数, 仍可用 “分割、 近似、 求和、 取 极限” 思想解决 。 6 1）“分割” 用任意曲线网将区域 D 分成 n 个小区域 小区域面积也记作 2）“近似”在每个中, 任取一点 则有 3）“求和” 4）“取极限”取极限，得 7 两个问题的共性： (1) 解决问题的过程相同 (2) 结果形式相同 “分割、近似、 求和、取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 8 二、二重积分定义 定义是定义在有界闭域 D上的有界函数 , 设 (1) 分割: 用光滑曲线网将区域 D 任意分成 n 个小区域 小区域 面积也记作 (2) 近似: 任取 作乘积 (3) 求和: (4) 取极限: 作和式 若不论区域 D 的分法及点的取法， 和式 （同一极限值） 9 则称在闭域 D上可积, 极限值 I 称为 在D上的二重 积分, 记作 即 被积函数 积分表达式 积分区域积分和 积分变量 面积元素 引例1中曲顶柱体的体积： 引例2中平面薄片的质量： 10 对二重积分定义的一些说明： 定义中, 区域 D 的分法及点的取法必须是任意的.（1） （2）若 在有界闭域 D 连续, 则 在 D 上可积. （3） 若在 D 上 为 D 的面积, 则有 计算平面图形面积 （4） 若 表示曲顶柱体的体积. 一般地 ,表示曲顶柱体体积的代数和. （二重积分的几何意义） 11 例 表示半球体的体积 . 表示三棱锥的体积 . O 12 三、二重积分的性质 设 在有界闭域 D 上可积 , 是常数， 性质1（线性性质） 性质2（关于积分区域的可加性） D D2 D1 13 性质3（不等式性质） 若在 D 上, 则 进一步，若在 D 上, 则 推论1 若在 D 上, 则 进一步，若在 D 上, 则 14 推论2 由于 从而 推论3设D 的面积为 , 则有 性质4 （二重积分的积分中值定理） 设 在闭区域 D 上连续, D 的面积为 , 则至少存在一点使得 二重积分的估值不等式 15 例1 不计算, 估计积分的值， 解： 其中 在D 上 的最大值 最小值 又区域 D 的面积 由估值不等式 D 16 例2比较积分与的大小， 其中 解： 积分区域的边界为圆周 它与x 轴的交点为与直线 相切. 而圆域位于直线上方，故在 D 上 从而 且 17 内容小结 1、二重积分的定