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第四章 不定积分 4.1 不定积分的概念与性质 教学目标 : 1、理解原函数和不定积分的概念 2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式 教学重点： 综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。 4.1 不定积分的概念 一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法 早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等 其中某些问题甚至得到了解决 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法 前言 例 一、不定积分的概念 定义4.1 P99 问题： (1) 在什么条件下，一个函数的原 函数存在？如果存在，是否唯一？ (2)在已知某函数的原函数存在，怎 样将这个原函数求出来。 定理4.1（原函数存在定理） 即连续函数一定有原函数！ 初等函数在其定义区间内一定有原函数 。 P99 定理4.2 例 P99 任意常数 积分号 被积函数 (不定积分的定义) 被积表达式 积分变量 定义4.2 P100 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 例2 不定积分的几何意义：. 函数f(x) 的不定积分 表示f(x)的一簇 积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率. P100不定积分的几何意义 2x的积分曲线 通常把函数f(x)的原函数y= F(x)的图形叫做f(x)的一条 积分曲线。那么f(x)的所有积分曲线构成的曲线族 y=F(x)+C称为f(x)的积分曲线族. 设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程. 练习P103.2 例3 P103-2 4.1.2 不定积分的性质 一、不定积分的性质 二、基本积分公式 由不定积分的定义，可知 ，或 ，或 性质4.1： P101 一、 不定积分的性质 性质4.2： 性质4.3 性质4.4 4.1.3 直接积分法P101 例5 例4 例6 堂上练习: 堂
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