《重积分习题课》PPT课件.ppt

三重积分习题课 重点：1.计算； 2.应用 上边界曲面（上顶） 下边界曲面（下底） xOy 坐标面上的投影区域 一、利用直角坐标系计算三重积分 “先一后二” （一）先投影，再确定上、下面 x 0 z y c1 c2 . “ “先二后一先二后一” ” zDz （二）坐标轴投影法 c1, c2: 向 z 轴的投影区间 Dz : 过 zc1, c2且垂于z轴 的平面截 得到的截面 0 x z y M(x, y, z) M(r, z) z r P(x, y, 0) x y z 柱面坐标 M(x, y, z) M(r, , z) z = z . . 二、利用柱面坐标计算三重积分 x z y 0 dr r rd d z 底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成： 半平面 及+d ; 半径为 r 及 r+dr 的圆柱面； 平面 z及 z+dz； dz dV = . 柱面坐标下的体积元素 . dV 0 x z y M(x, y, z) M(r, , ) r P y x z . . . 球面坐标 三、利用球面坐标计算三重积分 r dr d x z y 0 d rd 元素区域由六个坐标面围成： rsind 球面坐标下的体积元素 . 半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d r 2 sin drdd dV dV = (一)平面区域的面积 设有平面区域D, (二)体积 设曲面方程为 则D上的曲顶柱体体积为: 则其面积为: 占有空间有界域的立体的体积为: 重积分在几何上的应用 (三)曲面的面积 (1) 平面薄片的质心 重积分在物理上的应用 (一)质(重)心 (2) 空间物体的质心 (1) 平面薄片的转动惯量 (二) 转动惯量 (2)空间物体的转动惯量 则转动惯量为 设物体占有空间域 ,有连续密度函数 设物体占有空间区域V, 体密度为 区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a, b, c), 求物体 V 对质点 A 的引力. (三) 引力 其中G为万有引力系数。 引力F在三个坐标方向上的分量为 三重积分可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分. 三重积分的计算 将三重积分化为三次积分关键： 根据被积函数和积分域选择合适的坐标系; 画出投影域、确定积分序; 定出积分限、计算要简便 . z 0 x y 1 化为球系下的方程化为球系下的方程 r=2 cos . M . r 例1 例1 解 利用球面坐标 z =0 y = 0 x =0 0 y x 画图 x 0 z y 1 1 Dxy Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 1 . . . 例2： x + 2y + z =1 Dxy I = x 0 z y 1 1 Dyz . . . 例3： x + y + z =1 I = 解 直接积分困难，考虑改变积分次序 例4 解 a y x z o 例5 x y z o D S = D : . . . 例5 . . . 例5 解 S = 解 先算前面部分的面积A1 由 求交线 求柱面 所截剩下部分的面积. 被锥面例8 解 球 例9 解 柱面坐标 例10 旋转曲面方程为 旋转曲面方程