《重积分定义和性质》PPT课件.ppt

知识准备 回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在a, b可积. 则有 如图 0 x y a bxi xi+1 i y = f (x) f ( i) 其中xi = xi+1 xi , 表 示小区间xi, xi+1的长, f ( i) xi表示小矩形 的面积. 有一空间几何体. 其底面是 xoy 面上的区域D, 其侧面 为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y), 我们 称为曲顶柱体. 我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V = 底面积高， 那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？ 0 y z x z = f (x,y) D 一、引例 (1)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. 如图 z = f (x,y) 0 y z x z = f (x,y) D Di Di 计算步骤 (2)由于Di很小, 小曲顶柱体可近似看作小 平顶柱体. ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小 曲顶柱体体积 f ( i , i) ( i , i) Di z = f (x,y) (3)因此, 大曲顶柱体的体积 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确 值V, 若分割得“无限细“, 则右端近似值会无 限接近于精确值V. 也就是 1.定义 设z=f (x,y)是定义在有界闭区域DR2上 的有界函数. 将D任意分割成n个无公共内点的小区 域Di(I=1, 2, , n), 其面积记为 i. (i, i) Di, 作积 f (i, i) i, 二、二重积分的概念与性质 若对任意的分法和任意的取法, 当 0时, 和式 的极限存在且极限值都为I, 则称f (x,y) 在D上可积, 记为f (x,y) R(D), 并称此极限值 I 为 f (x,y)在D上的二重积分. 记作 即 其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x,y) 称为被积函数, d称为面积元素, x, y称为积分变量. 和式 注1. 定积分 二重积分 区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i, 将一元函数 f (x)在数轴上点 i 处的函数值 f (i)换 成二元函数 f (x, y)在平面上点(i, i)处的函数值 f (i, i). 可见, 二重积分是定积分的推广. 注2. 若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图) 则除边界上区域外, Di都是 矩形，它的面积为： 故也将二重积分写成 此时面积元素记为 ： d = dxdy i = xi yi 2. 2. 二重积分的几何意义：设二重积分的几何意义：设 x, y x, y 在在 D D上可积上可积, , 则则 (1) 当z=f (x, y)0时, (2) 当z= f (x, y)0时, (3) = (D1上曲顶柱体体积) (D2上曲顶柱体体积) 3. 3. 二重积分的性质二重积分的性质. . 设D为有界闭区域, 以下涉及的积分均存在. 性质1. 性质2. 性质3. 性质4. 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算. . 由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时, 如图 若点x处截面面积为A(x), 则体积 三、二重积分的计算 x y 0ax A(x) b 如果积分区域D表示为： 利用直角坐标系计算二重积分 我们称为X型 （特殊情况） 积分区域D为： X型 一般地， - 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分 如果积分区域D为：Y型 - 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分 若区域如图，比不是X型也不是Y型， 在分割后的三个区域上分别使 用积分公式得： 则必须分割. 例1 将 化为二次积分。 其中 D 由直线 围成。 解 1： 先画出积分区域 D ， 可知D 是 Y型。 将 D 向 y 轴投影。 于是， 解 2： D 也是 X型。 将 D 向 x 轴投影。 于是， 例2 计算 其中 D 由直线 围