高级微观经济学AdvancedMicroeconomics52均衡存在性的证明.doc

均衡存在性的证明一、 逻辑框架假设5.1：消费者效用的特征：代表性消费者的效用函数在维非负空间上连续、强递增和严格拟凹。定理5.1：需求函数的特征：如果代表性消费者的效用函数满足假设5.1，则对于每一个，消费者问题：有唯一解：。在上连续。定义5.4：过度需求函数的定义：定理5.2、5.4：过度需求函数的特征：过渡总需求函数具有下列特征：1：（定理5.2）连续性：2：（定理5.4）齐次性：3：（定理5.4）Walras法则：4：（定理5.4）如果各种禀赋的总数量严格为正，如果是中的价格向量数列，收敛于，且在中某商品的价格，则对于价格的商品，与价格向量数列相对应的过度需求数列无上界。定理5.3：（纯数学定理）假设函数满足下列特征：1：连续性：2：齐次性：3：如果是中的数列，收敛于，且在中，则对于的，与数列相对应的数列无上界。则存在向量使得定理5.5：存在价格向量使得过度总需求定义5.5：使得的向量，叫做Walras均衡。存在Walras均衡证明定理5.4（3）：如果每个消费者的效用函数都满足假设5.1，并且各种禀赋的总数量严格为正，如果是中的价格向量数列，收敛于，且在中某商品的价格，则对于价格的商品，与价格向量数列相对应的过度需求数列无上界。解释：1. 定义在中，即对于所有的，有。2. 当，的特征为且；同时，由于在中某些坐标为零，所以，并不严格大于零向量，如，。也就是说，当时，。3. 中为零的坐标，第个坐标，可能等于，也可能不等于，对一切等于零的坐标或商品，其需求为无穷大。由于当时，所以，即无上界。证明：设严格为正的价格数列收敛于，对于某商品，有。由于，且，所以，所以，至少一位消费者有。对应于价格向量数列，该消费者有需求数列：对于所有的，我们要证明该消费者的需求数列无上界。反证法。设有界，则有收敛子数列。假设数列收敛于，即当时，。对于所有的，有。有，得。令，其中第项为1。效用函数强递增，因此有，。且有当足够大时，在的邻域内。效用函数连续，所以，存在一个，使得且为什么设计？由于在时，所以，在足够大时，有，所以，不是消费者问题在下的解。这与假设相矛盾，所以，与特征为收敛于且在中某商品的价格的价格向量数列相对应的需求数列无上界。无上界，意味着其全部或部分或至少一个元素无上界。假设是商品的需求无上界。由于此消费者的收入收敛于，所以收入数列有界。也就意味着，因为无上界，所以，即。由于对商品的需求无上界，而此商品的供给固定，所以其过度需求数列无上界。9定理5.3：（纯数学定理）假设函数满足下列特征：1：连续性：2：齐次性：3：如果是中的数列，收敛于，且在中，则对于的，与数列相对应的数列无上界。则存在向量使得解题思想：应用Brouwer不动点定理定理A1.11：Brouwer不动点定理设是非空集、紧集和凸集。设是连续映射，那么在集合中，存在至少一个的不动点。也就是说，存在至少一个，使得。解题步骤：1、 构造单纯形用表示各商品的货币价格。用表示相对价格。函数满足齐次性，寻找使的解，等同于寻找使的解。相对价格向量的特点：，价格向量为单纯形中的点。商品1商品2商品3但是，应用不动点定理，函数在定义域上必须是连续的，但是，当某些商品的价格为零如图中的价格向量时，该商品的需求为无穷大，呈现不连续的特征。必须把这种情况排除除去，即设法保证。给定一个，保证了。对于所有的，令。当商品数量时，。商品1商品2商品3单纯形的定义：单纯形是有界集：单纯形是闭集： 单纯形是凸集： 取，取，令。，这对所有的都成立。所以，单纯形非空集： 令，则2、 构造对每一个，设，。结论：有上界3、 构造价格调整函数：瓦尔拉斯拍卖人选择价格向量以使所有市场出清，即，使。如果做不到这一点，它不是从价格空间中另外选择一个点（价格向量），而是按一定的规则提高存在过度需求的商品的价格（或和降低存在过度供给的商品的价格），价格调整函数或规则为：。如果在价格向量为，商品的价格为时，商品上存在过度需求，即，它将调高的价格，调整幅度为，调整后的价格为，再将其调整为相对价格：。注意，这里的商品价格为相对价格，调高一种商品的价格等于降低了其他所有商品的价格，包括本来供求相等的商品的价格。分母起到这一作用。如果在价格为时，商品上供求相等，即，它不对此商品价格进行调整，但是，由于对其他过度需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为：。如果在价格为时，商品上供过于求，即，它不对此商品价格进行调整，但是，由于对其他过度需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为：以这种方式得到的新的价格向量。的作用：存在是为了确保调整后的价格。分母是分子的加总，目的使。所以，以上两点保证了在单纯形里，而原始价格向量也在单纯形里，所以，为从自身到自身的映射。过度需求函数为连续函数，所以为连续函数，所以分子为连续函数；如果分母不为零，则为连续映射。分母始终大于等于1，所以，。的定义域满足Brouwer不动点定理中有界集、闭集、凸集和非空集的要求，函数本身构成连续映射，满足不动点定理，所以存在使。或者说，对所有的，存在。即调整后得到：结论：对每一个，在价格向量集合中有一价格向量使上式成立。我们要做的是寻找一个价格向量使和。商品1商品2商品34、 探讨：随着，有数列，每一个皆使上式成立。根据定义，有界，有收敛子数列。设该数列即为该收敛子数列，收敛于。或者为边界上的点，且或者为内点，。我们将证明在条件3下，该数列收敛于。就是说，条件3保证了价格向量严格为正。反证法：假设该子数列收敛于。为边界上的点，且。（例如，即满足的这一特征。）则在其中有些商品的价格为零。条件3指出，当由以上特征时，有某些价格为零的商品上，在与