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习题课习题课 级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数四、函数的幂级数 一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法 二、幂级数收敛域的求法二、幂级数收敛域的求法 第十一章 1 已知级数已知级数 的前的前n n 项和项和 通项通项 u u n n = = . . 则级数的则级数的 解解 例例1 1. . 2 例例2.2.设级数设级数 收敛，收敛， 解解 均收敛，均收敛， 收敛。收敛。 则必收敛的级数为（则必收敛的级数为（ ） 3 例例3.3. 设级数设级数 收敛，收敛， 则（则（ ） 收敛，收敛， 收敛，收敛， 收敛，收敛， 收敛。收敛。 解解 均收敛，均收敛， 收敛收敛. . 收敛收敛, ,发散发散, , 发散发散, , 4 一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法 1. 1. 2. 2. 正项正项级数审敛法级数审敛法 必要条件必要条件 不满足不满足 发散发散 满足满足 比值比值审敛法审敛法 根值根值审敛法审敛法 收收 敛敛发发 散散 不定不定 比较比较审敛法审敛法 用它法判别用它法判别 积分积分判别法判别法 部分和部分和极限极限 利用部分和数列的极限利用部分和数列的极限 判别判别级数的敛散性级数的敛散性 5 设设 (1)(1)若若则则 (2)(2)若若 则则 收收敛敛, ,也收也收敛敛; ; 发发散散, ,也发 也发散散. . 比较比较判别判别法法 设设 且且 极限形式极限形式 收收敛敛 , , 若若则则也收 也收敛敛. . 发发散散 , , 若若则则也发也发散散. . 当当时 时, , 6 3. 3. 一般项级数审敛法一般项级数审敛法 收敛收敛 LeibnizLeibniz判别法判别法: : 且且 则交错级数则交错级数收敛收敛 , , 设级数设级数 若若收敛收敛 , ,绝对绝对收敛收敛 ；则称则称 若若发散发散 , ,条件条件收敛收敛 ；则称则称 若若 7 例例4.4. 设常数设常数 a a 0 0 ， 的敛散性。的敛散性。 解解 当当 时，时， 级数发散。级数发散。 当当 时，时， 级数发散。级数发散。 当当 时，时， 收敛，收敛， 收敛。收敛。 讨论级数讨论级数 8 例例5.5. 级数级数 的敛散性是的敛散性是 。 解解 由莱布尼兹定理，由莱布尼兹定理， 条件收敛条件收敛 发散发散 交错级数条件收敛。交错级数条件收敛。 9 例例6.6.若级数若级数均均收敛收敛, , 证明级数证明级数 收敛收敛 . . 证证: : 收敛收敛 收敛收敛 且且 收敛收敛 10 判别下列级数判别下列级数例例7 7. . 解解 收敛收敛, , 由比较法可知原级数收敛由比较法可知原级数收敛 . . 由根值法可知由根值法可知 的敛散性的敛散性: : 11 解解 级数级数发散发散 , , 原级数原级数 发散发散. . 12 根据根值判别法可知根据根值判别法可知 : : 时收敛时收敛 ; ; 时时 , , 时收敛时收敛; ; 时发散时发散. . 时发散时发散 . . 解解 13 例例8.8. 解解(1)(1) P P 1 1 时时 , , 0 0 p p 1 1 时时, , p p00 时时, , 绝对收敛绝对收敛 ; ; 条件收敛 ; 讨论下列级数讨论下列级数 的 的绝对绝对收敛性收敛性 与与条件条件收敛性收敛性 : : 发散发散 . . 因为因为解解 (2)(2) 发散发散 . . 发散发散 . . 因因单调单调递减递减 , , 由由LeibnizLeibniz判别法知级数判别法知级数收敛收敛 ; ; 且且 所以原级数所以原级数条件条件收敛收敛 . . 14 因因 原级数绝对收敛原级数绝对收敛 . . 故故 解解 (3)(3) 收敛收敛 解解 (4)(4) 因因 所以原级数绝对收敛所以原级数绝对收敛 . . 15 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形幂级数标准形幂级数 再讨论再讨论 非标准形幂级数非标准形幂级数 通过换元转化为标准形通过换元转化为标准形 直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法 处的敛散性处的敛散性. . 例例9 9. . 先求收敛半径先求收敛半径 求下列级数的敛散区间求下列级数的敛散区间: : 标准形标准形非标准形 非标准形 其中其中 或或 16 解解: : 当当 因此级数在端点发散因此级数在端点发散 , , 时时, , 时原级数时原级数收敛收敛. . 故收敛区间为故收敛区间为 17 解解: : 故收敛区间为故收敛区间为 级数级数收敛收敛; ; 一般项一般项不趋于不趋于0,0,级数 级数发散发散; ; 当当 时时, , 当当时时, , 18 求部分和式极限求部分和式极限 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和求和 微积分变换法微积分变换法 逐项求导或求积分逐项求导或求积分 对和求积分或求导对和求积分或求导 难难 直接求和直接求和: : 间接求和间接求和: : 求部分和等求部分和等 初等变换法初等变换法: : （在收敛区间内）（在收敛区间内） 数项级数求和数项级数求和 分解、套用公式分解、套用公式 转化成幂级数求和转化成幂级数求和, , 再代值再代值 直接变换直接变换, , 19 解解: : 例例1010. . 求下列幂级数的和函数：求下列幂级数的和函数： 容易容易求出级数求出级数 的收敛域为的收敛域为 设和设和函数为函数为 则则 20 解解 收敛域为收敛域为 求幂级数求幂级数的和函数。的和函数。 设和设和函数为函数为 21 解法解法2 2 求幂级数求幂级数 的和函数。的和函数。 和函数和函数 22 例例3. 3. 解解 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数 先求出收敛区间先求出收敛区间设和设和函数为函数为 X=1 X=1 23 四、函数的幂级数和付式级数展开法四、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法直接展开法 间接展开法间接展开法 练习练习: : 1.1. 将函数将函数展开成展开成 x x 的幂级数的幂级数. . 利用已知展式的函数及幂级数性质利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式利用泰勒公式 解解: : 1. 1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法 两边对两边对x x求导求导 24 2.2. 将将 展开成展开成（x x11）的幂级数。的幂级数。 解解 收敛域收敛域 25