不用拉格朗日乘数求条件极值.ppt

四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 求函数 在条件 下的极值 Lagrange乘数法 (1) 作Lagrange函数： (2)求 的驻点： （根据多元函数极值的必要条件） 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 约束条件 解以上方程组，得驻点： (3) 便是可能的条件极值点 可根据实际问题断定为条件极值 以上方法要解一个三元方程组，有时比较复杂。 下面介绍一种方法，可以不设拉格朗日函数。 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 目标函数 约束条件 另一种方法：不设拉格朗日函数的方法不设拉格朗日函数的方法 利用条件极值的必要条件： 由它们的分量成比例 与约束条件一起解出极值点。 公式（6） 114页 这个方法常常更简单 24Mar12 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 例求函数： 在圆： 解作Lagrange函数： 求F 的驻点： 上的最值 四个驻点 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 另解 （不设拉格朗日函数的方法） 利用公式（6），条件极值的必要条件： 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 这个方法似乎更简单 24Mar12 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 四个驻点： 最大值 最小值 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 最大值 最小值 最大值 最小值 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 例用Lagrange乘数法再解例 5 (112页) 求函数 在约束条件 下的极小值 解作Lagrange函数 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 求 F 的驻点 根据题意，在该 点处，水池的表 面积最小。 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 另解 （不设拉格朗日函数的方法） 利用公式（6），条件极值的必要条件： 上面这个方程组比较难解。 下面用不设拉格朗日函数的方法解之。 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 这个方法似乎更简单 24Mar12 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 带入约束条件： 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 Lagrange乘数法可以推广到有多个约束 条件的条件极值问题 例如求三元函数 在两个约束条件 下的极值 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 目标函数 当点 (x, y, z) 在曲线 上变动时，求 f (x, y, z) 的极值 约束条件 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 方法如下：作Lagrange函数： 这是一个五元函数 求 F 的驻点，可得 f 的条件极值点 Lagrange乘数 以上方法要解一个五元方程组，有时比较复杂。 下面介绍一种方法，可以不设拉格朗日函数。 四川大学数学学院 徐小湛 24 March 2012 Santa II, p.148 目标函数 约束条件 另一种方