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高等数学精品教案 百通教育 第三节 幂 级 数 前面我们已经研究了常数项级数，下面将继续研究函数 一.函数项级数的一般概念 设u1(x),u2(x),.un(x).都是定义在某一区间I上的函数序列, 项级数.这是比常数项级数具有更加广泛意义的级数。 则表达式u1(x)+u2(x)+.+un(x). (1) 称为在I上的函数项级 数,记为 高等数学精品教案 百通教育 对于I上的任一定点x0,函数序列就成为数列,此时函数项 级数 u1(x)+u2(x)+.+ un(x). (1) 就成为 u1(x0 )+u2(x0 )+.+un(x0 ). (2) 这个级数(2)就是常数项级数 对于I上的不同的点,就有不同的常数项级数,所以函数项 级数和常数项级数的关系是一般和特殊的关系.这样我们可 以把常数项级数的有关理论和审敛法的知识应用到函数项 级数中来. 高等数学精品教案 百通教育 级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,我们称点x0是函 注意:I上的点若不是收敛点就是发散点,收敛域可能是区间, 数项级数(1)的收敛点;如果(2)发散,我们称点x0是函数项级 数(1)的发散点 函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所 有发散点的全体称为它的发散域. 也可能是孤立点,还可能是空集. 高等数学精品教案 百通教育 对应于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛 我们仍把rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函数 项级数的余项(当然,只有x在收敛域rn(x)才有意义),于是有 的常数项级数,因而有一确定的和S.这样在收敛域上,函数 项级数的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数的和 函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,写成 S(x)= u1(x)+u2(x)+.+un(x). 把函数项级数(1)的前n项的部分和记作Sn(x),则在收敛 域上有 高等数学精品教案 百通教育 判断函数项级数的收敛性仍然和常数项级数一样,有 (1)和函数极限的存在性. (2)比值判别法 (3)根值判别法 高等数学精品教案 百通教育 例1 讨论下函数项级数的收敛域并求和函数 解:函数项级数的定义域是(-,+) 当|x|1时,由公比 为x的等比数列求和公式,可得到 高等数学精品教案 百通教育 高等数学精品教案 百通教育 的收敛域 利用比值判别法 比值判别法失效,但由 例2 讨论函数项级数 高等数学精品教案 百通教育 级数收敛,且绝对收敛 知级数发散 故收敛域为 高等数学精品教案 百通教育 二 幂级数及其收敛性 函数项级数是比较复杂的,这是因为它的每一项都是比 其中常数a0,a1,a2,an.叫做幂级数的系数. 都是幂级数 例如 较复杂的函数.但这些函数都是幂函数时,它在理论上和形 式上都很简单,却应用很广泛的一类级数,称为幂级数. 幂级数的一般形式是 高等数学精品教案 百通教育 幂级数之所以简单而重要,首先在于它的部分和Sn(x)是 幂级数收敛域的研究由Aber得到 关于x的多项式,尽管它的和函数S(x)可能是很复杂的函数 , 当它总是可以用多项式来近似地表达,而且只要n充分大 时,这种近似表达可以达到任意指定的精确程度,其次幂级 数的收敛域有比较简单的形式. 高等数学精品教案 百通教育 幂级数发散 证明: 先设x0是幂级数(3)收敛点,即级数 收敛.根据级数收敛的必要条件,这时有 定理(Aber) 如果级数当x=x0(x00)时收敛,则适合 不等式 |x|x0|的一切x使这 于是存在一个常数M,使得 这样级数(3)的一般项的绝对值 高等数学精品教案 百通教育 因为当|x|x0|使级数收敛,则根据本定理的第一 部分,级数当x=x0时应该收敛,这和所设矛盾.定理得证. 高等数学精品教案 百通教育 定理1告诉我们,如果幂级数在x=x0处收敛,则对于开区间 设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散 ( - |x0|,|x|)内的任何x幂级数都收敛;如果幂级数在x=x0处发 散,则对于闭区间-|x0|,|x|外的任何x幂级数都发散. 点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就 只遇到发散点.这两部分的界点可能是收敛点也可能是发 散点.从原点沿数轴向左方走情况也是如此.两界点在原点 的两侧,且由定理1可以证明它们到原点的距离是一样的. 高等数学精品教案 百通教育 o R-R pp 从上面的几何说明,我们知道,幂级数的收敛域是以数轴上 原点为中心的对称区间.这里的特殊情况是整个数轴,或仅 有数轴的原点是收敛域. 高等数学精品教案 百通教育 且当|x|R时幂级数发散. 对于任何幂级数如果都存在一个非负数R, 00.R20,则对 R=minR1R2,在(-R,R)内,两个幂级数可作加法,减法,乘 法运算即 高等数学精品教案 百通教育 对于两个幂级数相除 这里设b00,为了求出右端的式子,我们把上式写为 采用系数待定法解出C0,C1 高等数学精品教案 百通教育 有了前面幂级数的四则运算,现在我们研究在收敛域内 1)幂级数的和函数S(x)在其收敛域内是一个连 续函数 的幂级数的和函数 关于幂级数的和函数的性质和幂级数的分析运算有如 下结论: 高等数学精品教案 百通教育 且求导前后的两个级数有相同的收敛半径R. 2) 幂级数 的和函数S(x)在其收敛域内是可导的, 并有逐项求导公式 反过来,和函数在收敛域内具有任意阶的导数. 高等数学精品教案 百通教育 并有逐项积分公式 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 3)幂级数的和函数S(x)在其收敛域内是可积的, 高等数学精品教案 百通教育 有了和函数的分析性质,我们就不必每次用定义求和函数 在利用幂级数的可以逐项微分,逐项积分性质求幂级数 的极限,而是利用一些已知的幂级数的和函数 ( 这些幂级 数即是: 等比级数,sinx,cosx, ex.的幂级数的展开式 ) 来 求另外一些和函数. 的和函数时,会提出如下的问题:在何种情形需逐项微分? 又在何种情形需逐项积分? 高等数学精品教案 百通教育 下面几点可作为解题时的依据: 除了上面两条原则外,把幂级数斥成几个级数的代数和或 (1)若幂级数通项的系数是n的有理分式,一般可用逐项微 分的方法求和函数. (2)当幂级数通项的系数是n的有理整式时,一般可用逐项 积分的方法求和函数. 提出公因子,也是求幂级数的和函数常用的技巧. 高等数学精品教案 百通教育 两边对x求导便得到S(x) 解: 高等数学精品教案 百通教育 高等数学精品教案 百通教育 的收敛域及和函数 分析: 这两个幂级数通项的分母都是阶乘,这种情形,一般 例9 求幂级数 可用逐项积分的性质求和函数,且要利用和函数为正余弦 函数或指数函数的幂级数求和公式. 高等数学精品教案 百通教育 高等数学精品教案 百通教育 高等数学精品教案 百通教育 高等数学精品教案 百通教育 利用幂级数的和函数求收敛常数项级数的和 收敛,并求其和 分析:此级数为幂级数当x=1/3时的值.此时幂级数为 其收敛半径为1. 例10 证明级数 和函数为: 高等数学精品教案 百通教育 高等数学精品教案 百通教育 的和 该级数利用根值判别法证明它收敛 例11 求常数项级数 此级数可看成幂级数 在x=1/2时所得到的级数. 高等数学精品教案 百通教育 时得到的级数 但这幂级数的和函数还是不容易得到,现在我们把它看成 幂级数 在 高等数学精品教案 百通教育 高等数学精品教案 百通教育 高等数学精品教案 百通教育 利用阿贝尔定理讨论幂级数的敛散性 定理1告诉我们,如果幂级数在x=x0处收敛,则对于开 区间(-|x0|,|x|)内的任何x幂级数都收敛;如果幂级数在 x=x0处发散,则对于闭区间-|x0|,