不定积分的概念与性质(28).ppt

一、原函数与不定积分 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 二、不定积分的基本性质 三、不定积分的性质 四、不定积分的几何意义 定义 1 设函数 y = f (x) 在某区间上有定义， 如果存在函数 F (x)，对于该区间上任一点 x，使 F (x)= f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称函数 F (x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一 个原函数. 一、原函数与不定积分 ( x3 + C ) = 3x2 (C 为任意常数)，所以 x3 + 1， x3 + C 都是 3x2 在区间 ( , ) 内的 原函数. 例如，因为在区间 ( , ) 内有(x3) = 3x2， 所以 x3 是 3x2 在区间 ( , ) 内一个原函数， 又因为(x3+1)= 3x2， 一般地， 若 F(x) 是 f (x) 在某区间上的一个 原函数， 则函数族 F(x) + C (C 为任意常数)都是 f (x) 在该区间上的原函数. 移项得 (x) = F(x) + C . 因为 (x) 是 f (x) 的任一个原函数， 因为 (x) - F(x) = (x) F (x) = f (x) - f (x) = 0 ， 由微分中值定理的推论得 (x) -F(x) = C (C为常数)， 设 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个确定的原函 数， (x) 是 f (x) 在区间 I 上的任一个原函数， F (x) = f (x)， (x) = f (x). 所以 F (x) + C 是 f (x) 在区间 I 上的全体原函数的一般 表达式. 即 其中符号 称为积分号， f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式， x 称 为积分变量， 定义 2 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原 函数， 即 则 F(x) + C (C为任意常数)称为 f (x) 在该 区间上的不定积分，记为 f(x) 称为被积函数， C 称为积分常数. 例 1 求下列不定积分 解 根据不定积分的定义，只要求出被积函 数一个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可. (1)被积函数 f ( x ) = 2x， 因为 ( x2 ) = 2x， 即 x2 是 2x 的一个原函数 ， 所以，不定积分 (2)被积函数 f (x) = sin x，因为 (- cos x) = sinx， 即 - cos x 是 sin x 的一个原函数，所以，不定积分 所以得 所以得 当 x 0 时，所以 合并以上两种情况，当 x 0 时，得 例 2 求不定积分 解 (2) 或 二、不定积分的基本性质 (1) 基本积分表 例 3 求不定积分 解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基 本积分公式， (1) (2) 得 例 4 求不定积分 解 性质 1 两个函数和的不定积分等于各个函数 不定积分的和， 三、不定积分的性质 即 性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即 性质 1 称为分项积分. 证 根据不定积分定义，只须验证上式右端的 导数等于左端的被积函数. 性质 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号外， (k 为不等于零的常数) 证 类似性质 1 的证法， 有 即 例 5 求不定积分 即各积分常数可以合并.其中 C = C1- 2C2 + 2C3， 因此，求代数和的不定积分时， 解 只需在最后写出一 个积分常数 C 即可. 例 6 求 解 例 7 求 解 四、不定积分的几何意义 若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 则称 y = F (x) 的图形是 f (x) 的积分曲线. 因为不定积分 是 f (x) 的原函数的一般表达式， 所以它对应的图形 是一族积分曲线，称它为积分曲线族. 积分曲线族 y = F (x) + C 的特点是： 当 C 0 时，向上移动； (1)积分曲线族中任意一条曲线， 可由其中某一 条(例如，曲线 y = F(x) ) 沿 y 轴平行移动|C|单位而 得到.当 C 0 时，向下移动； (2)由于 F (x) + C= F (x) = f (x)， 即横坐标 相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相 等，都等于 f (x)， 从而使相应点的切线相互平行(如图) x y O y = f (x) y = f (x)+C 例 8 已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处 横坐标平方的 3 倍，且过点 (0,1)，求此曲线方程. 按题意，得 得 由条件 y|x = 0 = 1 得 C = 1， y = x3 + 1. 解 设所求曲线为 y = f (x). 于是所求曲线为 例 9 设一质点以速度 v = 2cos t 作直线运动， 开始时，质点的位移为 s0，求质点的运动规律