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文档简介

二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 第五节 一、微分的概念 函数的微分 第二章 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在取 得增量时, 变到边长由 其 的微分, 定义: 若函数在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点可微, 定理 : 函数 证: “必要性” 已知在点 可微 , 则 故在点 可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且即 定理 : 函数在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且即 “充分性” 已知 即 在点 可导, 则 说明: 时 , 所以时 很小时, 有近似公式 与是等价无穷小, 当 故当 微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 例如, 基本初等函数的微分公式 (见 P116表) 又如, 二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 例1.求 解: 例2. 设求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 数学中的反问题往往出现多值性.注意: 注 数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 三、 微分在近似计算中的应用 当很小时, 使用原则: 得近似等式: 特别当很小时, 常用近似公式:很小) 证明: 令 得 的近似值 . 解: 设 取 则 例4. 求 的近似值 . 解: 例5. 计算 内容小结 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可微可导 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差 思考与练习 1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点 处的及 并说明其正负 . 2. 5. 设由方程确定, 解: 方程两边求微分, 得 当时由上式得 求 6. 设 且则 1. 已知求 解：因为 所以 已知求 解:方程两边求微分,
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