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第三章 一元函数积分学 (integral) (一) 目的与要求 v理解原函数、不定积分(indefinite integral) 的概念及性质 v熟练掌握13个常用积分公式 v熟练掌握不定积分的换元法,分部积分法 v理解定积分的概念及性质 v熟练掌握定积分(definite integral)的换元法 ,分部积分法 v熟练掌握用定积分计算平面曲线围成图形的面 积及旋转体的体积 第一节 不定积分 目的与要求 v理解原函数、不定积分的概念 v掌握不定积分的性质 v掌握不定积分的基本公式, v掌握不定积分的两类换元积分法, 分部积分法 例 定义： 一、原函数与不定积分的概念 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数 ， 则（ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 实例 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表 基 本 积 分 表 是常数); 说明： 例4 求积分 解 根据积分公式（2） 三、不定积分的性质 例5 求积分 解 例6 求积分 解 例7 求积分 解 例8 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表. 解 所求曲线方程为 基本积分表(1) 原函
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