传质微分方程及扩散传质.ppt

1 第三章 传质微分方程及扩散传质 3.1 传质微分方程和菲克第二定律 3.2 伴有非均相反应的扩散 3.3 伴有均相化学反应的扩散 化学反应动力学（第一章）研究方法 一维扩散传质（第二章）菲克第一定律 2 3.1 传质微分方程 3.1.1 传质微分方程推导： A通过微分体积表面x处 表面的量， 在 处 故在方向上A的净流出速度： A在微分单元内的累积速度： 设 为单位体积单位时间内由于化学反应产生的A量，则A产生速度 为： 。 质量守恒原理 体系内的积累 =通过体系边界的净流入量 + 体系内的净生成量 根据物理化学基本原理推导出来的所有模型，都 是以上式表示的原理为基础。 上式对质量、动量、能量都适用。 3 4 根据质量守恒原理，有： 两边同时除以 ，则有： 即 同样可推导在三维方向上： 简写成 称为传质微分方程。 同理，对于以摩尔通量表示的形式为： 3.1.2 菲克第二定律 扩散介质中小体积单元如图所示 截面1进入体积单元的扩散流 截面2流出的扩散流 6 假设：扩散过程无化学反应，那么扩散进入体积单 元的量减去流出体积单 元的 量等于体积单 元内物质的积累量。 以 代表体积单 元的截面积， 则 （31） 因为扩 散流随变化，故 （32） 将（32）代入（31），得 （33） 根据菲克第一定律 代入（33）得 （34） 7 当D为常数，即不随扩散距离、浓度变化时，有 （35） 即为菲克第二定律。 （35）可简写为 当组分向三维空间扩散时，则有 （直角坐标系） （圆柱坐标系） （球坐标体系） 求解三维扩散方程非常复杂，所以一般在制定实验方案时，近似地安排成一 维扩散，在特定边界条件下解（35）式一元二阶微分方程。 8 菲克第二定律成立的条件 无扩散引起的对流传质； 扩散体系内无化学反应； 为常数。 适用于固体或静止流体中的扩散。 稳态扩散 当达到稳态时， 故 ， 即 9 菲克第二定律的应用 菲克第二定律： 已知条件：1）初始条件（时间上的已知值）： t=0时， t=0时， t=时， 2）边界条件（某空间上的已知值）： 规定某界面的浓度； 规定某界面的化学反应速度； 将对流传质作为边界条件。 10 例1 在1273K时，用 混合气体对低碳钢（ ） 进行渗碳，设钢板内 部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度 。求渗碳6小时后钢铁表 面下 处的碳浓度 。 已知： 。 解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩散方向为 轴。 起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。 边界条件：扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变， 即 当 ， ， 。 将上述已知条件代入，解方程得： 11 例1 在1273K时，用 混合气体对低碳钢（ ） 进行渗碳， 设钢板内部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度 。求渗 碳6小时后钢铁表面下 处的碳浓度 。 已知： 。 解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩散方向为 轴。 起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。 边界条件：扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变 ，即 当 ， ， 。 将上述已知条件代入，解方程得： 12 erf(x)称为高斯误差函数， 1-erf(x)称为补余误差函数。 误差函数的性质： erf(-x) = -erf(x) erf(0) = 0 erf(1) = 1 1-erf(x) = erfc(x) erfc( )=0, erfc(0)=1 erfc(x)为补余误差函数。 用 作纵轴， 为横轴作图 13 由， 得知欲求时间t的扩散浓度，须先求出 的值，再由图得 值。 查图得， 。 渗碳6小时，钢铁表面 处的碳浓度 可以由这样的方法求固体中的扩散系数。 14 3.2 伴有非均相反应的扩散 整个过程包括 扩散：反应物向界面扩散 化学反应：在界面上发生化学反应， 此时扩散仍遵守菲克第二定律。化学反应提供重要边界条件。 例2 设有一球状的碳粒与氧反应生成一氧化碳 试计算碳的燃烧速度。假定气膜层中的氧和一氧化碳不发生反应。 15 解：计算碳的燃烧速度，计算氧气消耗速度即可。取球形坐 标，在扩散过程中没有化学反应发生，在稳态条件下, 则传 质微分方程（取球坐标）： 简化成： （3-89） 或 （3-90） 边界条件： ， ， R为碳粒半径； ， ，xO2为空气中的氧分压。 有上述两个边界条件，可以求出 。 16 而我们要求的是 ,因为 根据菲克第一定律 对于碳和氧化学反应生成一氧化碳，有 （每扩散进来1摩尔氧气，就有2摩尔一氧化碳在相反方向上扩散出去） （3-95） （3-98） 在整个扩散进程中WO2保持为常数（这一点从3-89式可以得出，或者，因为是串 联过程，扩散过程中通过不同球面的氧气质量是相等的）即： 对（3-98）整理得： 17 两边分别求积分： 为积分常数。 当时 ， ，故 ; 当时 , ，故 (399) 若知道氧的量即可换算成碳的燃烧速度。 1）假定化学反应速度比扩散快得多， 则 , 2） 假定化学反应速度和扩散速度相差不大，则非均相反应中化学反应速 度能提供一个重要的边界条件： 即 时, 假设为一级基元反应， 18 将 代入(399)，得 当 大时，上式中对数可按泰勒级数展开，方程简化为： (3104) 关于泰勒级数: 上式叫做函数f(x) 在点x0处的泰勒级数。 该式叫做函数f(x) 在点x0处的泰勒展开式。 19 3.3 伴有均相化学反应的扩散 传质微分方程 20 两种类型化学反应; 1 传质相中均相反应 2 传质相中的非均相反应。 反应速度作为边界条件（因为控制体积内无化学反应发生） 本节只讨论第一种情况。 例 3 过程：气体A被液体B吸收，同时在液体中发生一级基元反应而被消 耗。试求液面上气体A的的摩尔通量。 分析：液面 ， ， 21 假设B无限大，扩散达到稳态 ，A在液体中流动性很小， 液体中流动很小， 则有： 由传质 微分方程 又 故有： 22 边界条件： ， ， 解出： 双曲正弦函数： 双曲余弦函数： 故，液面上的摩尔通量（现对于静止坐标） 双曲正切函数 23 表示了化学反应的影响，它是一个无因次量， 称为哈特数（Hatta number）。 当 很大时， ,方程简化为： (3115) 上述传质又称为液膜传质， 与传质方程式比较： 液膜传质系数与扩散系数的1/2次方成正比。 24 例：熔融金属在一窄管 中的挥发 ，金属蒸汽在 熔体上方和气相中的组 分发生反应。如工业实 践中粗硒的提纯。 a 控制A的挥发 速度很小XA0； b 用惰性气体稀释XB0 c 窄管中平行流(非涡流)NAy+NBy0 列方程：传质 微分方程：A： (1)(稳态 ) 例4 窄管中金属A挥发并与气相中B反应发生在管内 B： (2) 25 化学反应速度：设 为不可逆二级反应 (3 ) 菲克第一定律： (5) 假定A、B浓度很低, 设传质为稳态传质，结合设传质为稳态传质，得 （3-120） （3-121） (4) (6) 窄管中流体沿y方向的流动可忽略 （3-121） 26 （3-120）与（3-121）表示一对非线性微分方程式，它们的解要求用数值分 析方法，但A与B之间的化学反应进行十分迅速时，仍得分析解。 只要A和B扩散进入反应区即立即反应，在反应区内 .设反应区的位置是在的平面上。 边界条件： 求解得： 式中， ,所以，有 由液体表面（）来的A的摩尔通量： 则 （3-125） 27 将 代入，并考