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数学教学的基本技能 数学教学的基本技能 数学教学的基本技能 杭州师范大学 理学院 叶立军 本章将介绍的内容： 备课 说课 课堂教学 评课 教学技能考核 1、要求人人过关。不过关不能参加实习； 2、考核内容： （1）教学设计；（120分钟；30分） （2）课件制作；（120分钟；15分） （3）说课模拟上课板书。（15分钟，60 分钟准备时间） 教学资源 1、数学学科教学论网 2、中学数学教学参考（高中、初中），陕 西师范大学 3、数学课程与教学论 4、张奠宙 数学教育学，江西教育出版社 5、数学通报，北京师范大学 6、义务教育课程标准实验稿（修订稿） 影响有效教学的基本要素 教学内容的次序，问题呈现的先后不同，会得 到完全不同的效果。 影响数学课堂教学的几个因素 教师的数学观 教师的教育观 学习的学习观 数学观 逻辑派 逻辑派的主要代表人物是罗素和弗雷格。他 们的主要宗旨是把数学还原为逻辑。这就 是：从少量的逻辑概念出发，去定义出全 部的数学概念；从少量的逻辑命题出发， 去演绎出全部的数学定理。 二、直觉派 直觉派的主要代表人物是布劳威，其宗旨 是以“直觉上的可构造性”作为“可信性”的标 准对全部已有数学进行彻底的审查和改造 。 三、形式公理派 形式公理派的创始人是希尔伯特。希尔伯 特规划是他在数基础问题上的数学观的主 要体现，其核心是：以形式公理化为基础 ，以有限立场的推理为工具，去证明整个 数学的相容性，从而把整个数学建立在一 个牢固的可靠基础上。 教育观 教育功能： 选拔还是发展？ 教育是一种改变学习者的过程 谨防考试成为普罗克拉斯帝铁 床 有效教学的实现方式 学生感兴趣是有效教学的必要条件发动机 只有才能 只有学生乐学，教学才能有效。 教学针对性是有效教学的充分条件方向盘 如果那么 如果教学有针对性，那么教学就能有效。 学习兴趣来自三个方面 （知事、知因、知窍、知人） 明确的学用关系目标 多样的刺激手段方法 快乐的成功体验评价 评价要善于用五面镜子看学生 用放大镜看优点; 用显微镜看进步 用哈哈镜看特点; 用平面镜看不足 用望远镜看发展 新课程的三维目标 1、知识与技能； 2、过程与方法； 3、情感态度、价值观。 知识 技能 技巧 例1、抽样 选自浙教版八年级上 统计及其基本思想与方法 “统计学”这个词源于拉丁语“国情学” 大不列颠百科全书对统计学下的定义 是：“统计学是关于收集和分析数据的科 学和艺术。” 特点： （1）随机性； （2）不确定性； 主要是对日常生活中见到的图形和数量的 抽象 研究的问题是图形的变化与计算法则 研究的基础是定义和假设； 研究的方法主要是归纳、递归、类比和演 绎推理。 统计学的基本思路是，根据所关心的问题 寻求好的方法，对数据进行分析和判断， 得到必要的信息去解释实际背景。 统计的内容： 了解一些教育理念： （1）施教之功,贵在引导,要在转化,妙在开窍； （2）一切为了学生，为了一切学生，为了学生的一切； （3）数学大众化，不同的人学习不同的数学，不同的人在 数学上得到不同的发展； （4）教学永远是教和学的统一，永远具有教育性； （5）在教学过程中，不仅要传授给学生基本知识、基本技 能，更重要的是让学生在能力上得到发展。 （6）在教学过程中，要做到减负增效，向课堂教学要质量 （7）在教学过程中，以学生为主体，以教师为主导； （8）既教猜想又教证明，猜想比证明还重要。 两种教学策略 演绎策略： 一般原则 特殊原则 在一堂课的开始就呈现主要学习内容的概念，剩余时间再 用实践、练习来证明这种观念或概念。演绎策略是从一般 走向特殊：先呈现一般原则，然后是特殊例子。 归纳策略 特殊原则 一般原则 归纳策略正好与演绎策略相反，在施以归纳策略时，教师 先提供特定的数据，进而一步步引导学生从中总结出一般 的规则或原理。在施以归纳策略的课堂上，主要观念、概 念或技能往往是在课程的最后才予以呈现的。 过去的教育重视的是演绎： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实； 基本技能（证明技能与运算技能）熟练。 绵延千年的科举。重视基本功：知识记忆； 重视操作技能：熟能生巧。 还缺少什么？ 根据情况“预测结果”的能力； 根据结果“探究成因”的能力。 教育理念 “双基” “四基” 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验。 “两能” “四能” 发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题。 教育理念 数学教师特殊素养 核心思想 数学的本质是研究关系 数量关系 图形关系 随机关系。 特殊素养 来龙去脉 分数 1/4；小数 0.25。1/4=0.25。 分数：3000年历史， 部分/整体、比例、无量纲； 有理数：300年历史， 是数量的抽象。 教育价值 几何的教育价值： 几何直观（空间观念） + 演绎推理。 特殊素养 几何重点是 操作与观察 建立直观 难点是 图形的分类（三角形、四边形） 概念的形成（平行线） 特殊素养 推理分为演绎和归纳： 统计学的研究方法是基于归纳， 而传统数学是基于演绎。 统计的总体目标 要使学生能够“经历提出问题、收集和处理 数据、作出决策和预测的过程，掌握统计 与概率的基础知识和基本技能，并能解决 简单的问题；经历运用数据描述信息、作 出推断的过程，发展统计观念”。 统计学的教育价值 ： （1）养成通过数据来分析问题的习惯。其 实质是通过事实来分析问题。用样本估计 总体；（2）建立随机的概念。 （3）学习如何去判断事情的主要因素。 教学设计的要求 中小学统计学课程、教学设计的核心目标 是培养学生“通过数据来分析问题”，课程 、教学设计的总体框架就应当是，体现从 收集数据到分析推断的全过程，并以这个 过程为主线，抓住要点，循序渐进。 如：中位数和众数的学习一定要结合具体 的案例进行学习，并且与平均数比较，这 是因为中位数和众数在日常生活中用得不 多。 例、袋子里的有五个球，四个白球一个红球，通过 摸球估计那种球多、两种球的比例。 摸球验证出现白球的可能性是 4/5。 1 那种颜色的球多？ 2 估计比例大概是多少？ 3 如果带子有五个球，白球大概有几个？ 这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不一 定是通过讲道理分析出答案。通过“道理” 直接给出结果固然是 好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的有 效手段，这是我们过去教学中忽视的地方。 教师要学会站在学生的立场思考问题，只有这样才能引导学 生思考。 概率的核心 新课标要求：“义务教育阶段统计与概 率的学习，是过程、思想和观念的学习， 目的是让学生体会统计和概率的基本思想 。” 概率的核心可以概括为：数据而不是数字 ；活动而不只是概念；做而不是记忆；过 程而不只是结果。 概率统计的处理思路 统计处理的基本思路：基本统计过程（数据的意义、统计 活动、统计图表、统计量、预测：根据数据处理结果）； 做统计活动、抽样（样本与总体）。（扇形统计图、平均 量度） 概率处理的基本思路：突出实验概率的想法，即在各种实 验活动中学习概率。 按照：“确定与不确定性、可能性大 小、等可能性、实验、频率、几何概型、概率”展开内容 。使学生在活动中“接触不确定现象”、“体验随机性”、“ 认识概率的意义”、体会到在大量重复性实验中，可以用 频率替代概率。（实验） 当前数学教学的基本要求: (1)基于教材,超越教材(从广度、深度上） (2)立足课堂,超越课堂(从情感、乐趣上） (3)基于教师,超越教师 (教师要放下架子，蹲下身子。在玩中学， 玩数学语言，学生学会了思考，敢于求异， 敢于探索。只有教师和学生幸福成长，教师 才能真正成长，超越自我。） 二、当前数学教学中的偏差现象 1.课题导入不自然 2.教师提问频繁与学生参与度低 3.教学形式化现象严重 4.重预设，轻生成 5.重结果，轻过程 1.课题导入不自然 课题导入 教师在新知识教学之前，为激发学生学习兴趣，调动 学生学习积极性，创设问题情境引入教学内容 常用方法 直接导入、设疑导入、实例导入、游戏导入等等 存在问题 导入方法单一、情境问题喧宾夺主、不切主题等等， 对学生数学学习兴趣与内部动机产生不利的影响 在数学归纳法的起始课中，教师为了导入课题使用了三个实 际问题： 美食节前，班主任老师想在办公室单独了解班上每一位同学对 本班参与美食节的组织建议，请帮助老师设计一个面见同学的程 序。 一挂合格的鞭炮，要导爆所有的炮仗，应该点燃哪一颗炮仗前 的导线。 通过视频导入多米诺骨牌问题。 案例 1 1.课题导入不自然 三个问题总共耗时9分30秒,但始终没有导入数学归纳法这一主题 2分29秒 1分1秒 5分 事实上，“观察”“发现”“证明”是发现定理的基本思路，数学 归纳法是运用递推的思想，通过有限推理证明无限结论的严格数学证明 方法，是对观察与归纳所得结论的严格证明。 教师试图通过三个实际问题让学生体会递推思想，然而，在归纳完 多米诺骨牌原理后，教师忽略“观察”、“发现”直接使用数学归纳法 “证明”数列通项公式，这样的过渡很牵强甚至驴头不对马嘴。 案例 1 1.课题导入不自然 一堂分式的乘除的课，一节课总时间为2532秒，教师提问160 次，所用时间为585秒，占课堂总时间的23.10%；学生参与课堂教学的 人数为12人，共18次，参与时间为65.5秒，学生参与时间仅占2.59%. 2.教师提问频繁与学生参与度低 在许多课堂教学中都存在着教师提问过多的现象，“满堂灌”似乎 变成了“满堂问”，教师严格控制着整个教学进程，教学按照教师预先 设计好的意图进行着，牵着学生走的特点比较明显。 事实上，“满堂问”究其实质还是“满堂灌”，教师将知识分拆成 小问题，不断地提问，以便让学生掌握知识。但由于教师讲得多，学生 参与的机会随之变少，许多本该达到解释水平的课，不少教师将此下降 为记忆水平。 父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？” 子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，我们从来不用橘子。 ” 案例 2 3.教学形式化现象严重 教学直观化在一定程度上提高了学生的学习兴趣，但如果过度强调直 观性，忽视将直观知识上升为抽象知识，则不利于学生对数学抽象知识的 理解、应用，一旦换了情境，学生便无法解决类似的问题。事实上，教学 直观化只是帮助学生理解数学抽象知识的一种手段，思维训练才是教学本 质。 有一位老师在圆的认识教学中，安排了如下几次小组合作学习： 在小组里交流日常生活中见到的一些圆形物体。 小组合作画圆，交流画圆方法。 操作中认识圆心和半径。 讨论在同一个圆里，有多少条半径，这些半径的长度是否相等 。 案例 3 3.教学形式化现象严重 整堂课中，学生几乎都在参与合作学习，且由于合作交流的次数太多 ，最后导致教学匆匆收场，合作学习没有落到实处，若长此以往，无疑将 削弱学生的自主学习能力。 当前，教师在课堂教学中经常采用分组讨论的形式让学生进行所谓的 合作学习，然而，仅仅开展表面热闹的课堂教学讨论,不仅不能提高学生的 学习能力、学习兴趣, 反而会降低思维的深度、广度，教学也会逐渐变得 形式化、教条化。 这是对课堂预设与生成的精辟阐述，两者在课堂教学中缺一不可，因 为没有预设的生成常会使教学陷入“虚假生成”的误区，而没有生成的预 设，往往会使原本精彩的课堂教学失去生命力。然而，课堂教学中却存在 着严重的重预设、轻生成现象. 4.重预设，轻生成 课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发 现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固 定路线而没有激情的形成。叶澜教授 在有关数列的一次课堂教学中 师：前面学习了等差数列和等比数列，今天我们来学习新的内容 生：老师，我有一个问题：既然有等差数列和等比数列，那有没有等和数 列、 等积数列呢？ 师：（愣了一下）这不属于高考内容, 没必要浪费时间研究这个问题。 师：（继续着原定的教学进程） 案例 4 4.重预设，轻生成 在课堂教学中，教师经常鼓励学生对问题进行思考，并发表自己的观点 。而对学生提出的各种观点，教师大多采取选择性吸收的态度，当学生观点 符合教师原先教学设计时，教师或大加赞赏，或大做文章；当不符合时，则 常会有意回避，或将其强行拉回预设“主题”，尤其是对学生那些“突发奇 想”。假若课堂教学只在执行“预设”，那又何来“生成”之说？ 曾经有一位企业家问郭思乐教授，什么是教学？ 他说：“如果你告诉学生，3乘以5等于15，这就不是教学。如果你说， 3乘以5等于什么？这就有一点是教学了。如果你有胆量说3乘以5等于 14，那就更是教学了。这时候，打瞌睡的孩子睁开了眼睛，玩橡皮泥的 学生也不玩了：什么什么？等于 14?! 然后他们就用各种方法，来论 证等于 15 而不是14。” 5.重结果，轻过程 案例 5 在当前的教学过程中，由于受到评价体系的影响，“掐头去尾烧中段 ”，为结果而教，甚至追求结果的现象严重。为了应付考试，教师让学生 反复模仿，简单操练，学生没有主动经历知识发生、发展的过程，而是被 动、机械地接受教师讲的内容。 长此以往，造成了教师单纯传授数学知识，学生只求记忆，学习过程 不完整，堵塞了数学思想的传播渠道，学生缺乏对数学的理解现象。教学 中，重视解题技能、技巧训练，轻普适性思考方法的概括，学生只会简单 模仿，数学思维层次不高等现象严重。 5.重结果，轻过程 三、怎样处理教学中的基本矛盾 1.知识与文化 2.理论与应用 3.预设与生成 4.结果与过程 5.演绎与归纳 6.证实与证伪 7.论证与实验 1.知识与文化 知识教育文化教育 知识取向文化取向 教育 数学教学 矛盾 1.知识与文化 知识取向文化取向 是以知识为中心的教学，教学所 关注的问题是，如何采用有效的 方法使学生准确无误地获取知识 ，教师的职责就是考虑如何最有 效地向学生传递知识，学生的任 务就是最大限度地从教师和课本 那里获得客观知识。 关注的不仅仅是知识，而且包括知识在 内的整个文化；不再以知识为中心、以 知识为本，而是以人为中心，以人为本 ；不再仅仅局限于让学生学习和掌握现 有的知识，从而成为旧知识的接受者， 而是让学生受到包括知识在内的整个文 化的全面熏陶，从而不仅是旧知识的接 受者，而且是新知识的创造者。 2.理论与应用 偏重数学的理论价值偏重数学的应用价值 “知”识要素内部矛盾 数学教学 3.预设与生成 注重预设注重生成 教学设计 教师对教学过程的系统化设 计，是教师围绕教学目标， 在系统钻研教材内容和认真 分析学生的知、情、意等实 际情况以及对相关教学行为 结果进行反思的基础上对教 学过程的规划和设想。 教学过程随着教学情境的变 化而变化。这种变化包括教 学内容、教学程序、教学行 为等方面的变化。 4.结果与过程 过程取向结果取向 教学设计 在教学中强调知识的发生与 发展过程，追求揭示知识的 生长过程。 教学中偏重知识结果的传授 5.演绎与归纳 演绎形式归纳形式 展示教学 演绎归纳 研究方法 人们对事物的认识既有归纳成分也有演绎成分，科学 发现不可能脱离归纳单纯依赖演绎，也不可能脱离演 绎而单纯依赖归纳。 6.证实与证伪 证实证伪 波普尔指出：科学命题都是普遍的结论，然而由于观察和实验的 对象都是具体的事物，能为经验所证实的只是个别的断言，而不 可能是普遍的结论，因此，科学结论的经验证实是不可能的，但 是，命题是可以经验地证伪的，因为任何反例的得出，即是对相 应地普遍结论的直接否定。 源自波普尔的证伪主义 6.证实与证伪 教学应兼有证实和证伪二重性： 只有证实性的教学 学生形成片面的知识观和学习观 既然每堂课都是在证实知识的正确性，然后再将这些结论用于解决问题， 当然会使学生形成知识是绝对真理的信念，把学习理解为是无条件的接受 过程，学习者就会处于被动地位，个人的见解和热情难以融入到教学活动 中，完全是以虔诚的心态接受他人给出的结论和证明，以旁观者的姿态参 与学习，形成杜威所说的“旁观者”知识观。 只有伪证性的教学 学生形成片面的知识观和学习观 6.证实与证伪 证实是培养学生逻辑思维能力的有效手段，具有证伪的不可替代性 证伪能训练学生反思意识和批判性思维，这又是证实力所不能及的 只有两者的融通，才能充分发挥教育的功能 7.论证与实验 逻辑主义经验主义 论证思想实验思想 检验知识间接标准知识形成 逻辑 积累经验 教学 不同的学科，论证和实验的权重不同： 数学学科教学是以论证为主、实验为辅的结构系统 科学学科教学是以实验为主、论证为辅的结构系统 人文社会学科教学是以实验和论证并重的结构系统。 三、如何备课 一些新教师由于对中学数学教材不熟，对学生情况不明，对教学方法不晓 ，因而教学效果不佳。 有的教师在课堂上“平铺直叙”，“照本宣科” 有的教师繁琐讲解，“唱独脚戏” 教师动机虽好，学生怨言不少，教学质量不高 。 1. 备教材 2. 备学生 四、如何备课 3. 备练习题 4. 备导入 5. 备设问 6. 备小结 7. 备设问 8. 备板书 9. 备教具 备 课 1.备教材 （1）熟悉教材 从教材的系统性入手，通晓全部教材，了解教材的来龙去脉， 了解各部分内容在整个教材中的地位和作用，确定教材的深广度。 1.备教材 例如：在初三几何“相似形”中，三角形内角平分线性质定理的证明。 一方面要考虑到和前面知识的联系，AD为A的平分线，过点C作 CEDA，交BA的延长线于E，应用前面的平行线分线段成比例定理而得 证（如图101）； 1.备教材 例如：在初三几何“相似形”中，三角形内角平分线性质定理的证明。 另一面还要考虑与后续知识的联系。在学习了“解三角形”以后，则三 角形内角平分线性质定理的证明可简化如下：在ADC中（如图10-2）， 同理 故 1.备教材 （2）分析钻研教材 在“精读”教材的基础上，对教材内容进行全面深刻的剖析。 研究教材的思想性； 研究数学中运动、发展、转化、由量变到质变、对立统一等观点 在教材有关章节中的具体体现。 在概念教学中：侧重于观察、抽象、概括、辨析等能力的培养； 在定理教学中：侧重于归纳、类比、分析、综合等探究能力的培 养。 对内容较易的：侧重于自学能力的培养； 对内容较难的：侧重于分析问题和解决问题能力的培养。 1.备教材 例如: 在几何中：图形之间的内在联系，三角形是基本直线形，其他多 边形多半可转化为三角形来研究。 在三角形中：其全等的判定和应用判定定理进行推理证明又是这 章的重点，在这章以前还没有要求学生独立进行推理论证，只是让 学生填空，填写理由和模仿证明。 1.备教材 人们的认识规律总是由特殊到一般再由一般到特殊的，数学知 识之间的纵横联系也必然反映出人们这一认识规律。 在备课中根据一般和特殊的辩证关系，掌握知识间的纵横联系 ，寻找教材间的“规律”。 1.备教材 直角三角形边角的内在规律：勾股定理和锐角三角函数。在掌握它们之后，就可以 解直角三角形了。 从三角形的画法可知，如果一个三角形具有下列性质条件之一：（1）已知三条边； （2）已知两边和它们的夹角；（3）已知两角和它们的夹边；那么这个三角形的形 状、大小就完全确定了，从而另外三个元素（边或角）也随之确定。 在锐角三角函数推广到任意角三角函数后，则可以进一步导出正弦定理和余弦定理， 从而掌握了任意三角形边角之间的内在联系，由此则可解任意三角形 纵向联系 1.备教材 横向联系：正弦函数的图像 1.备教材 （3）处理教材 紧扣教学目的，克服教学中的盲目性 教育学指出：学习是一种有目的的活动，学习的目的性越明确，学生的 学习积极性就越高。 心理学也认为：学习上的自觉性，就是指学生对学习目的和它的社会意 义有清晰的认识。 教学目的和要求应考虑： 第一、思想品德教育体现在哪些方面； 第二、对基础知识和基本技能、技巧的学习应达到何种程度？提出 何种水平的要求？ 1.备教材 （3）处理教材 突出教学重点，克服学习的复杂性 根据教学目的和教学特点，联系学生实际，组织教材，确定什么地方 该详讲、略讲或不讲，也就是要确定教材的重点。 确定内容的重要程度： 第一、对教材的有关部分，它是不是核心； 第二、它是不是今后学习其它内容的基础，或者是否有广泛的应用 。 1.备教材 例2：“对数”的概念 解决这个难点的关键是弄清对数与指数是互为逆运算。 另外，对数定义中为什么要把底数a的范围规定为a0，a1？教材中 未指出，学生会有疑惑。教师必须向学生交待清楚，是因为任何实数b都满 足1b=1，而任何实数b都不满足1b=N（N1），故规定对数的底a1，类似 地可知规定a0的原因。而当a0时，ab在许多情况下，比如 （ l 、k 为自然数）时没有意义，故规定a0。 1.备教材 备教材时要努力做到： （1）教材是学校教学的主要依据。在备课时，要掌握本节课的知识结构体系，它 与前后知识之间的联系，在教学中的作用、地位，所要达到的知识和能力两方面的 要求，它的重点、难点、关键，从而确定本节课的教学目标、课堂类型和所要使用 的教学方法。 （2）为了更好地把握教材，还需要阅读教学参考资料上的有关内容。它详细说明 了知识之间的联系、作用、地位，也提供了教学意见和一些注意事项，可以使我们 加深对教材的理解，少走弯路。 （3）对教师来说还应该多占有一些资料，如参考书、课外读物，与专业联系的报 刊杂志等。 2.备学生 了解学生： 教师刚接任一个新班时需要了解班级学生的情况； 在开展优课评选活动借班上课时，需要向有关教师了解学生的情况或亲 自深入班级熟悉学生情况； 在平时的教学中，在每一课的备课时，都要考虑我们的教学对象。 了解学生方法： 回顾上一节课教学任务的完成情况，课堂上学生的学习情绪； 学生的作业情况，有目的地和不同层次的学生交谈；向科代表了解情况 等。 2.备学生 （1）备课准确定位学生学习目标 新课标要求达成学生知识与技能、过程与方法及情感、态度与价值观 三维目标，目标设计上要做到“三个并重”。 备课中应考虑两项内容： 一、本课的知识点和能力点的问题，对定理的掌握应用，整个初中阶段 所学的平面几何知识的理解。 二、学法指导，在备课时就要充分考虑好，每节课的学习都要让学生学 会一定探究的方法、技巧，教师将作怎样的指导，这一点非常重要。 2.备学生 （2）备课应考虑师生双边互动式 新课标强调“教”服务于“学”,教师通过与学生合作,依靠学生自主动 手活动、实践、合作与交流去实现教学任务; 新课标要求教师以学生的心理发展为主线,以学生的眼界去设计教学思路 ,预测学生可能的思维活动并设计相应对策。 让学生参与课前的准备,自己收集制作有关资料(如实物、图片、数据等), 如做等腰三角形平行四边形，然后尝试研究它的性质。 这个过程不仅能促进学生自主学习,为课堂教学作很好的铺垫,还能使教师 预测到学生的需要,掌握学生的现有水平和情感状态,把握学生的“现有发展水 平”,使教师在备课时,更多地从学生学习的角度去考虑教学方案,对症下药,有 的放矢。 2.备学生 （3）备课应考虑学生的个体差异，因材施教 新课程倡导打造教学基础,做好教学的前提工作,了解教学对象的差异 学生差异。 备课时： 认真分析学生的知识结构的差异,找准新知识学习的切入点; 认真分析学生的学习方式的差异,根据学生的兴趣、爱好、情绪,设计课堂教 学,把握学习的鼓动点; 认真分析学生的学习需要差异,根据对象确定分层施教,架好学习的桥梁,使基 础较差的学生“吃得进,消得了”,使学有余力的学生“跳一跳,摘得到”。 2.备学生 （4）根据教学情况进行课后备课,提高教学反思能力 进行二次备课,更有利于教师的专业成熟与提高。 教案的价值并不仅仅在于它是课堂教学的准备,教案作为教师教学思想、方法轨 迹的记录,也是教师认识自己、总结教学经验的重要资料。 在教学实践中,课堂一旦放开,真正活起来,就会有很多突如其来的可变因素,学 生的一个提问、一个“发难”、一个突发事件,都会对原有的教学设计提出挑战。 2.备学生 例： 高一代数“角的概念推广”一节需要用到集合知识，如果学生还没有 掌握，将会给讲例题：“写终边落在 轴上角的集合”带来困难，这里涉及 求两个集合 的并集问题。同时在角的概念推广以后，学生对某一确定的角和某象限的 角概念容易混淆，这就要求教师在了解学生的基础上，缺什么就想法加以 弥补什么，对一些易混淆的概念教师应引导学生加以辨别。 3.备练习题 泛指整个教学过程中，和训练有关的口答题、笔答题、板演题、教师讲解 的例题以及所布置的作业题等。 使学生牢固地掌握数学知识； 使学生巩固所学知识，掌握有关的基本技能和进一步培养能力 。 3.备练习题 （1）例题的选择和挖掘 开始的引导练习要起承上启下的作用，既巩固上一节的知识， 又能自然地导入新课，或为新知识的传授铺垫搭桥。 3.备练习题 具有目的性 设计例题主要从巩固知识和获取技能两方面考虑。同时还要考 虑学生的未来发展。选择例题要目的明确，分层设计来组织例题， 一般可采用题组形式，围绕目的，层层展开。 在讨论“指定区间上二次函数的极值与最值”时可设计这样一组例题。 例1 已知函数yf(x)=x22x2，试求函数在下列区间上的极值 与最值：（， ）；0，3；-1，0；2，3。 这里既需要作一般的考虑，又要在有限区间的情况下，特别考虑区 间的端点。 3.备练习题 具有启发性 通过典型例题的讨论，学生对这类问题的条件、解题方法的理 解深刻了，不仅能思考问题的本身，而且还可以思考更广泛更深远 的一般性问题。 例2 求证lg3lg331。 问题本身启发: i）33399； ii）lg3lg33lg99lg100=2； iii要证不等式左边为和式 可考虑用“a0，b0，则 来证明。 3.备练习题 具有延伸性 为使例题延伸，可通过对例题的挖掘深化，使问题在更大范围内延伸 展开。 横向延伸: 例题的一题多解； 纵向延伸: 改变例题的条件和结论，采取有层次的“题组式”教学， 其优点是思路流畅，脉络清晰，规律性强，也有利于学生推广、归纳、分 类从而加强探索能力 3.备练习题 具有典型性 具有典型性的例题即具有代表性。研究它的典型意义，可以“以点代 面”使学生举一反三、触类旁通。 例4 在解析几何中用代入法求动点轨迹问题。 如图103设A的坐标为（2，0）， Q为圆 上任一点， OP是AOQ中AOQ的平分线，求P点轨迹。 从这类问题中可以抽象出利用“代入法” 求动点轨迹的一般模型和方法。 3.备练习题 （2）学生的课内练习题 使学生将所学得的基础知识及时得到巩固，掌握有关的基本技 能并趋向熟练。 3.备练习题 在备课中安排练习时应注意以下几点： 要紧扣重点，有利于基础知识的巩固和规律的掌握； 事先演算，明确目的； 要注意题型的多样性，要重视变式训练和探索性的训练，以培养能力； 例题示范，注意格式； 安排板演，共同评议； 循序渐进，逐步提高，以发展学生的智力； 题量适度，难度适中。 3.备练习题 （3）课外作业题的布置和配备 对于课外作业可布置适量的选做题，以体现因材施教的原则，还要避免大 量的机械模仿性的题目。 区别哪些习题是主要的，次要的，哪些是巩固性的，哪些是创造性的，哪 些是单纯性的，哪些是综合性的，哪些学生可以独立完成，哪些需要提示 ，哪些可作为教材讲授，对每道题的难度与演算时间做到心中有数。 首先教师需按照对学生的要求，将教材上全部习题演算一遍，明确各题的 要求，解题关键，解题技巧，解题的格式。 3.备练习题 编制习题对教师的要求： 突破常规，认真学习研究，掌握独立地创造新题的方法和技巧； 不仅需具备广博的专业知识，还要有良好的思维品质； 不仅要谙熟初等数学知识，而且对高等数学知识也有较高的造诣 ； 同时要善于想象，从不同的角度去思考问题，防止思维定势。 3.备练习题 相同：基础能力 严密的逻辑思维能力, 一定深度和广度的知识结构, 灵活的数学技巧,以及对多种数学方法的理解和掌握 。 不同：目的 解题：在给定的条件下去求出问题的答案； 制题：在设定条件的同时, 也设定要证明的结论. 制题与解题的异同 3.备练习题 “好”的数学问题的标准： 应当具有较强的探索性； 具有一定的启示； 具有一定的开放性； 具有一定的发展余地； 具有一定的现实意义。 一个好的题目的特点： 文字叙述简洁明了； 假设的条件恰到好处(若增多,则嫌多余, 若减少, 则不能保证结论成立 )； 解题所用到的知识不超出解题者的知识范围。 3. 备练习题编习题方法 （1）成题改编：对原有习题进行加工、改造、深化 例1 原题：已知 三点，动点P到 之距离为 且 求P点的动点轨迹方程。 改编题：（1）设等腰OAB的顶角为2，高为h，在OAB内有一动点P到 三边 之距离分别是 且满足 求P点轨迹。 （2）上题中的P为改在OAB之外，把 改为 ，求点轨迹。 3. 备练习题编习题方法 （2 ）高等数学成果初等化 在高等数学研究成果中，常常包含着一些初等的结论，如恒等 式、不等式等。 高等数学中的一些问题经过简单化、特殊化、具体化之后，常 可用初等方法来解决，这些题无范本可循，往往是公认的好题。以 高观点研制数学题目，可以编制出有新意的题目。 3.备练习题编习题方法 3.备练习题编习题方法 3.备练习题编习题方法 (3) 倒果为因法 预先约定一个条件A，经过有目的的运算或逻辑推理，得出了 一个结论B，如果这些运算和推理都是可逆的话，就可以得出以B为 条件，以A为结论的习题，或得出与推演过程有联系的习题。 3.备练习题编习题方法 例： 先约定a，b，c成等差数列，作以下演绎： a-bb-c (a-b)-(b-c)0 (a-b)-(b-c)20 考虑恒等式： (a-b)(b-c)a-c (a-b)(b-c) 2-(a-b)- (b-c) 2=4(a-b)(b-c) 得(c-a) 2-4(a-b)(b-c)0， 由于以上过程可逆，故得题目： “已知(c-a) 2-4(a-b)(b-c)0，求证：a，b，c成等差数列。” 类似地，再考虑恒等式： (a-b)(b-c)3(a-b)(b-c) 32(a-b)36(a-b)(b-c)2 又可得题目： “已知2(a-b)36(a-b)(b-c)2(c-a)30，求证：a，b，c成等差数列。” 3.备练习题编习题方法 (4)类推仿造法：根据原有题目的特点，进行类推仿造新的习题 4.备导入 如何引进新课，对于有经验的教师来说都是要认真考虑的问题。导入好 ，就能将学生的注意力牢牢地吸引住，就能激发学生的求知欲望，提高学生 的学习兴趣，因此每节课都必须精心构思导入，达到以下三个方面的要求： （1）创设一个良好的教学情景，造成积极思维的环境气氛。 （2）让学生在十分迫切的要求下学习。 （3）揭示本节课的教学目标。 5.备设问 教学中发挥教师的主导作用，主要是突出一个“引”字 充分发挥学生的主体作用，主要是突出一个“放”字 “引”和“放”都离不开教师的设问。 创设良好的教学情景引入新课，思路让学生讲，疑难让学生议，规律 让学生找，结论让学生得，错误让学生析，都必须通过教师的设问，启发 学生的思维，让学生主动地接受知识。 6.备小结 一节课的小结是教师帮助学生回顾与总结本节课的学习内容，对于小结要 注意以下几点： （1）要尽量引导学生总结，如本节课的主要学习内容，它的作用，规律性的 结论，有关注意事项，学习心得等。 （2）要注意将本节课的知识纳入系统之中，促使学生在总体上把握知识，这 样掌握的知识就不是零乱的和支离破碎的。 （3）要充分发挥小结的作用，小结可以是承上启下的引子 如提出某一未解决的问题，引出下节课，可以是激发学生学习兴趣的火花； 如故设悬念，让学生课后思考，可以是布置新的研究课题； 如就课堂上出现的某一基本图形，要求学生翻阅资料，查找与这基本图形有关的 几何题等。 7.备语言 语言的口头表述是一种艺术，教书主要是通过语言表达来进行的，因此 提高教师的表达能力至关重