毕业论文--均匀分布的应用及推广.doc

A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他本科生毕业设计（论文）均匀分布的应用及推广二级学院：专 业：年 级：学 号：作者姓名：指导教师：完成日期：2013年5月6日目录引言：21 均匀分布31.1 一元均匀分布3.2 二元均匀分布32 均匀分布的推广63 均匀分布的运用73.1 在舍入误差中的应用73.2 蒙特卡罗方法的依据73.3 均匀分布负荷在供电计算中的运用73.31 使用原理83.4均匀分布运用于椭圆形区域随机点生成83.5均匀分布运用于长方体区域上随机点生成9结语：10参考文献：11均匀分布的运用及推广摘 要：本文研究了一维和二维均匀分布, 并以此为依据将均匀分布推广到维,还介绍了均匀分布在现代计算技术中的应用用均匀随机数生成其它随机数，分别建立并证明了椭圆区域和长方体区域上均匀分布随机点生成的定理，除此之外，还应用均匀分布负荷进行供电系统计算关键词：均匀分布；随机数；运用；推广Application and promotion of the uniform distributionAbstract:In this paper we study one-dimensional and two-dimensional uniform distribution ,and dimensional is promoted based on it, and we also introduce applications of the uniform distribution in modern computing technology ,generates other random numbers with uniform random number. The related theorem on the generation of stochastic points uniformly distributed on the elliptic region and the cuboid region is presented and proved respectively . Besides, it makes the calculation of power supply system by even distributed loads. Key words:uniform distribution; random number ;application ;promotion引言：在一般的概率统计课程的教学中, 都会涉及到均匀分布遗憾的是, 多数教材对该知识点的探讨都点到为止同时, 教材中所涉及到的应用又都过于单调据此, 本文拟对由均匀分布得到的结论作更深入的探讨，随着社会的飞速发展，利用数学方法，定量的对问题进行相关分析已经成为趋势，这样使其结论更具有可信度，因此，均匀分布的应用及其推广在其中就显示出了极其重要的作用，是必不可少的一个分析与计算方法本文详细介绍了均匀分布的推广及其在现代科技、椭圆形区域和长方形区域随机点生成以及在供电计算中的运用，可以看到均匀分布在解决实际问题时给我们带来很大的方便,而均匀分布的推广形式也进一步拓展它的使用范围, 成为我们解决更为复杂问题的有效工具1 均匀分布1.1 一元均匀分布若连续性随机变量具有概率密度 (1)则称在区间上服从均匀分布，记为，易知，且由(1)可得 若，则.2 二元均匀分布设的面积满足,二维随机变量的分布密度函数为则称遵从上均匀分布,记为定理1 若随机变量服从 上的均匀分布, 则随机变量 仍服从均匀分布定理2 二维随机变量服从 上的均匀分布的充要条件是服从 上的均匀分布, 服从 上的均匀分布,并且与 独立 证明：充分性证明：因为故得和的密度函数分别为又因为与相互独立，故得和的联合密度为 所以服从 上的均匀分布必要性证明：服从矩形区域内均匀分布，则关于和的边缘密度分别为和，可见所以和相互独立，且证明完毕例1：在0,1中随机地取两个数，其积不小于3/16，其和不大于1 的概率解：设所取的两个数分别是随机变量X,Y ，对于二维均匀分布的随机变量(X,Y)的概率密度函数为设事件A=两个数其积不小于3/16，其和不大于1，如图1图1注：有些题目可以用二维均匀分布，也可用几何概型来求概率，但是相比之下，利用二维均匀分布来思考和计算就显得简单多了定理3 若随机变量服从上的均匀分布, 随机变量服从上的均匀分布,则不服从均匀分布例2 如图1, 在区间中随机地取出两个数, 求两数之和小于的概率解法1（错误解法）: 设这两个数为，事件两数之和小于则解法2：设这两个数为，事件两数之和小于事件A对应的区域为，所以注: 根据定理3, 虽然均服从均匀分布, 但不服从均匀分布, “等可能性”不满足, 因此, 解法1是错误的； 根据定理2, 二维随机变量 服从 均匀分布, 所以解法2是正确的2 均匀分布的推广多维区域上的均匀分布 对维欧氏空间，设是可测集合，且是维测度，是维随机点，如果对任意可测集合，满足 则称服从上的均匀分布，记作.设是的真子集，且，对于可测集合，总有 (2)则(2)式表明：给定条件下，条件分布是上的均匀分布因此，可得产生上均匀分布生成的算法：1) 生成上均匀分布随机点；2) 若，则令，输出，结束；3) 转1) 这样产生的随机点 就是上的均匀分布因此产生上均匀分布生成的随机点就要求容易产生上均匀分布生成的随机点3 均匀分布的运用3.1 在舍入误差中的应用因为数字计算机字长有限，舍入误差的分析在用计算机解题时是很有必要的，而在计算机的数值计算中，定点计算的舍入误差，可以作为均匀分布的随机变量3.2 均匀分布是蒙特卡罗方法的依据蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解蒙特卡罗方法是计算机计算中的一个重要方法，其理论依据是均匀分布的以下性质定理4：随机变量 的分布函数 连续，且严格单调增加，则（1）随机变量在上服从均匀分布（2）若随机变量在上服从均匀分布，对于任意的分布函数，定义随机变量，则的分布函数是证明：（1）因为是分布函数，故在上取值，设的分布函数为，则有 所以随机变量在上服从均匀分布（2）若随机变量在上服从均匀分布，对于任意的分布函数 ，由得因此的分布函数是 蒙特卡罗方法的关键步骤是产生分布函数 的随机数，通常的做法是利用数学或物理方法，产生上均匀分布的随机数，再利用 得到任意分布的随机数3.3 均匀分布负荷在供电计算中的运用3.31 使用原理均匀分布负荷是电力系统研究中经常采用的分析方法，在电气化铁道牵引供电系统中，其工作原理是：在供电臂上用一个均匀分布的负荷（单位长度功率，kW/km 或单位长度电流，A/km）来代替时间与位置都不断变化的负荷例3：牵引网电压降计算：假若供电方式为带回流线直接供电，供电臂长度为，总的电流为，单位阻抗为，单位长度电流为图2 电气化铁道单位长度功率指导图解：若是单边供电：供电臂上距离变电所处的瞬时电流为， 处的瞬时电压降为若是双边供电，供电臂上距离变电所 处的瞬时电流为 处的瞬时电压降为：3.4均匀分布运用于椭圆形区域随机点生成定理5：若的密度函数分别为：和且相互独立，其中通过公式变换成且,则服从椭圆形区域内均匀分布 证明：设，因为相互独立，故得的联合密度为；平面上的闭区域对应平面上的闭区域，为，于是有 其中表示的面积，上式表明随机向量落在区域上的概率与的面积成正比，而与在椭圆形区域中位置和形状无关由此可见，的联合密度函数为所以二维随机向量在椭圆形区域内服从均匀分布，证毕3.5均匀分布运用于长方体区域上随机点生成定理6：服从长方体区域上均匀分布充要条件是： ,且相互独立证明：充分性的证明因为,故得的密度函数分别为 (3) .(4) (5)又因为相互独立，故得的联合密度为当，时 (6). 否则，所以服从长方体区域上均匀分布必要性的证明服从长方体区域上均匀分布，则关于的边缘分布密度为（3）（4）（5）式，可见所以相互独立，且，定理证毕结语：本文将均匀分布由一维推广到维，并运用均匀分布进行供电计算，采用均匀分布负荷对牵引负荷进行研究，可以大大简化计算和分析，也能较为准确地反映负荷的动态过程另外，还列出了二维区域上均匀分布的随机点生成的新算法，类似地也列出三维区域上均匀分布的随机点生成的算法给出了椭圆形区域和长方体区域上均匀分布随机点生成的定理，并加以证明这些定理既精确又实用，具有很重要的价值，给工程、信息安全和无线网络的仿真提供了理论和技术支撑所得到的随机节点定理，为以后研究多维均匀分布随机节点的相关问题奠定了基础参考文献1 宗序平.概率论与数理统计M.北京:机械工业出版社,2002:39-40,55-57,60-63.2 盛骤, 谢式千. 概率论与数理统计及其应用M . 北京: 高等教育出版社, 2010:49-51,63-65.3 高惠璇统计计算M北京：北京大学出版社，1995:80-89.4 毛纲源. 概率论与数理统计解题方法技巧归纳M. 武汉:华中理工大学出版社,1999:264-273.5 谢兴武,李宏伟.概率统计释难解疑M.北京:科学出版社, 2007:130.6 李旭东，赵雪娇长方体区域上均匀分布随机点定理及其应用J .西