高考数学函数的极值.ppt

函数的极值 一、复习与引入: 上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调 性这个问题.其基本的步骤为: 求函数的定义域;求函数的导数 ; 解不等式 0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f(x1). oaX1X2 X3X4b a x y (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端 点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点 可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的 单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值 问题. 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切 线的话,则切线是水平的,从而有 .但反过来不一 定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点 的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近 的点的函数值小.假设x0使 .那么在什么情况下x0 是f(x)的极值点呢？ oaX00 b x y oaX0 b x y 如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近 点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能 是增函数,即 ; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即 同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的 左侧附近f(x)只能是减函数,即 ;在x0的右侧附近 只能是增函数,即 . 从而我们得出结论:若x0满足 ,且在x0的两侧 的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则x0 是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值. 从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率 为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为 负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大( 小)值的方法是: (1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极大值; (2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极小值. 要注意以下两点: (1)不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在 点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在 极值点处不一定存在导数. (2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之 函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如, 函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原 因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此导 数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件 是在这点两侧的导数异号. 因此,利用求导的方法,求函数的极值时,在函数的 定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其导 数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导的 点,这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值 的“可疑点”. 三、例题选讲: 例1:求y=x3/3-4x+4的极值. 解: 令 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: x(-,- 2) -2(-2,2) 2 (2,+ ) y + 0 - 0 + y 极大值值28/3 极小值值-4/3 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3. 总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下: (1).求导数 (2).求方程 的根. (3)检查 在方程根左右的值的符号,如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值. 例2:求函数 的极值. 解:函数的定义域为 令 ,解得x1=-a,x2=a(a0). 当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表: x(-,- a) -a(- a,0) (0,a ) a(a,+ ) f(x ) + 0 - - 0 + f(x) 极大值值-2a 极小值值2a 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值 与最值是完全不同的两个概念. 练习1:求函数 的极值. 解: 令 =0,解得x1=-1,x2=1. 当x变化时, ,y的变化情况如下表 : x(-,- 1) -1(-1,1) 1 (2,+ ) y - 0 + 0 - y 极大值值-3 极小值值3 因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3. 例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k-1成立的充要条件 . 解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6. 由于当x0时, 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1. (2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10对一切 恒成立. 由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1. 反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立. 所以,a1是k-1成立的充要条件. 第二课时 一、复习: 1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x) 的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极 大值与极小值统称极值. 2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: (1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极大值; (2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极小值. 3.理解函数极值的定义时应注意以下几点: (1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内 部的点而不会是端点. (2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. (3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不 一定比极小值大,极小值不一定比极大值小. (4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的. (5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是 充分条件. (6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到. 4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法. 例1:已知函数 f(x)满足条件:当x2时, ;当 x2,由条件可知 ,即: 当 时,x20,列表如下: x -1 (- 1,1) 1 + 0 0 0 + f(x ) 极大 值值 极小 值值 由表可得 ,即 . 又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2. (2)设a1时, ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11. 例3:已知: (1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点; (2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值. 解:(1) 令 ,得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20, 故 有不相等的两实根、,设设. 又设g(x)=-ax2-2bx+