边缘分布、相互独立性.ppt

二维随机变量的边缘分布 在已知二维随机变量的联合分布的前题下，有时候我们会 感兴趣其中某个变量的分布，（称作边缘分布）希望能由已知 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 则随机变量 X 的分布函数为： 随机变量 Y 的分布函数为： 分别称 为二维随机变量关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。 的联合分布求得。 二维离散型随机变量的边缘分布 得 二维离散型随机变量的边缘分布是一维离散型分布 例1 设二维随机变量 的联合分布律为： 试分别求出关于 和 的边缘分布律及的分布律。 解： 二维连续型随机变量的边缘分布 关键是由二维随机变量的联合分布密度求出关于两个随机 变量的边缘分布密度。 一方面，我们有： 另一方面，我们有： 所以， 同理， 二维连续型随机变量的边缘分布是一维连续型分布 例2 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为： 别处 求分别关于 X ，Y 的边缘分布密度及边缘分布函数。 解：关于 X 的边缘分布密度 当 或 时， 当 时， 所以 别处 例2 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为： 别处 求分别关于 X ，Y 的分布密度及分布函数。 当 时, 当 时， 当 时, 所以 解： 别处 例2 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为： 别处 求分别关于 X ，Y 的分布密度及分布函数。 解： 关于 Y 的边缘分布密度 当 或 时， 当 时， 所以 别处 例2 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为： 别处 求分别关于 X ，Y 的分布密度及分布函数。 当 时, 当 时， 当 时, 所以 解： 别处 例3 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为： 别处 求分别关于 X ，Y 的分布密度。 解：关于 X 的分布密度 当 或 时， 当 时， 所以 别处 例3 设二维随机变量（X，Y）的分布密度函数为： 别处 求分别关于 X ，Y 的分布密度。 解：关于 Y 的分布密度 当 或 时， 当 时， 所以 别处 D 是等可能的，求该点到 Y 轴的距离的分布函数。 例4 设点（X，Y）落有曲线 与 X 轴之间的区域 解：由题意，（X，Y）服从区域 D 上的均匀分布。 D 因为 所以 当 或 时， 当 时， 点到 Y 轴的距离的分布即坐标 X 的分布， D 是等可能的，求该点到 Y 轴的距离的分布函数。 例4 设点（X，Y）落有曲线 与 X 轴之间的区域 D 解： 别处 当 时, 当 时， 当 时, 所以， 由上面介绍我们看到：由联合分布密度 可求出两个边缘分布密度 和 反过来，由两个边缘分布密度 和 能否求出联合分布密度 呢？ 一般来说是不行的！ 例如：设（X，Y）服从二维正态分布， 其密度函数为： 反过来，由两个边缘分布密度 和 一般不能得出联合分布密度 可求得，它的两个边缘分布分别是： 不能确定 两个随机变量的相互独立性 定义 X 与 Y 相互独立 判别法1 离散型随机变量 X 与 Y 相互独立 判别法2 设 X，Y 是两随机变量，若对实轴上的任意两个集合 则称 X 与 Y相互独立。 有 连续型随机变量 X 与 Y 相互独立 判别法3 均有 例如 ： 与 非相互独立。 与 是相互独立。 又如例 2 中 ： 别处 别处 别处 X 与 Y 相互独立。 又如例 3 中 ： X 与 Y非相互独立。 别处 别处 别处 例5 设二维随机变量 和 的联合分布密度是： 问 为何值时， 与 相互独立？ 解： 这时可验证 与 相互独立。 例6 设随机变量，且 X 与 Y 相互独立，求 X，Y 的联合密度函数。 解：已知 因为 X 与 Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布 u 条件分布律具有一维分布律的性质 u 联合分布律唯一确定条件分布律，要求条件 分布律，只须先求出边缘分布律，然后将联合概 率除以边缘分布的概率即可. 连续型随机变量的条件分布密度连续型随机变量的条件分布密度 的条件下 的条件分布密度为 n在 ; . 的条件下 的条件分布密度为n在 2. 设随机变量X 与 Y相互独