确定二次函数的表达式(经典).ppt

二次函数 确定二次函数的表达式 复习提问： 1.二次函数表达式的一般形式是什么? 2.二次函数表达式的顶点式是什么? 3.若二次函数y=ax+bx+c(a0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式? y=ax+bx+c (a,b,c为常数,a 0) y=a(x-h)2+k (a 0) y=a(x-x1)(x-x2)(a 0) 一、教学目标： 1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函 数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式 ，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数，简化运算过程。 二、重点和难点： 根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式 ， 既是重点又是难点。 例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。 解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c 图象过B(0,2) c=2 y=ax2+bx+2 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 函数的解析式为： y=-x2-x+2 例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。 解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a0) 由题意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4 解方程组得： a= -7 b= 42 c= -59 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59 解法2：（利用顶点式） 当x=3时，有最大值4 顶点坐标为 (3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 函数图象过点（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 二次函数的解析式为： y= -7(x-3)2+4 例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5), B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3， 求这个二次函数的解析式。 解: 二次函数的对称轴为直线x=3 设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得：a= 1 k=-4 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5 小结: 已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。 解：（交点式） 二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) 设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) 函数图象过点(1,4) 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3 例已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。 知道抛物线与x轴的两个交点的坐 标，选用交点式比较简便 其它解法：（一般式） 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 解得： a= -1 b=2 c=3 函数的解析式为：y= -x2+2x+3 （顶点式） 解： 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， (-1+3)/2 = 1 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 抛物线过点(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 函数的解析式为： y= -(x-1)2+4 做一做 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m 试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式? 解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系 设它的函数表达式为: y=ax (a0) 谈谈你的收获 议一议 通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么? （待定系数法） 你能否总结出上述解题的一般步骤? 1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式; 归纳： 在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。 求点C的坐标标 若一个二次函数的图图像经过经过 A，B，C三点， 求这这个二次函数表达式。 已知平面直角坐标标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X轴轴