高等数学习题课(两个重要的公式.ppt

习题课一 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限， 无穷小量，无穷大量，等价无穷小， 在一点连续，连续函数，间断点， 第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）， 第二类间断点. 2.基本公式 （代表同一变量). 两种形式 注意能求的极限形式 3.基本方法* 利用函数的连续性求极限； 利用四则运算法则求极限； 利用两个重要极限求极限； 利用无穷小替换定理求极限； 利用分子、分母消去共同的非零公因子 求 形式的极限； 利用分子，分母同除以自变量的 最高次幂求 形式的极限； 利用连续函数的函数符号与极限符号 可交换次序的特性求极限； 利用“无穷小与有界函数之积 仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系， 单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性 ，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关 系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理 ，无穷小与无穷大的关系 初等函数的连续性，闭区间上连续函数的 性质. 二、学法建议 1本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念， 特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分 知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习 2本章概念较多，且互相联系， 例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系， 才能对它们有深刻的理解， 因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系 3要深刻理解在一点的连续概念， 即极限值等于函数值才连续 千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性 三、例题精解 例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设 问当 为何值时， 是 的间断点? 是什么间断点? 四、主要解题方法 求函数极限方法* 1.利用极限存在的充分必要条件求极限 例1 求下列函数的极限： 解 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在 小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处 的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在 且相等时极限才存在，否则，极限不存在 例如习题二 P31 2 2.利用极限运算法则求极限 例2 求下列函数的极限： (2) (3) (4) (1) 小结 (1) 应用极限运算法则求极限时， 必须注意每项极限都存在 （对于除法，分母极限不为零） 才能适用 （2）求函数极限时，经常出现 等情况，都不能直接运用极限运算法则， 必须对原式进行恒等变换、化简， 然后再求极限。常使用的有以下几种方法 型，往往需要先通分，化简，再求极限， 对于无理分式，分子、分母有理化， 消去公因式，再求极限， 对分子、分母进行因式分解，再求极限， 对于当时的 型，可将分子分母同时 除以分母的最高次幂， 然后再求极限 解 (1) = (2) 当时，分子、分母极限均为零，呈现 型，不能直接用商的极限法则， 可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子， 再用商的运算法则 原式= (3) 当时， 的极限均不存在，式 呈现 型，不能直接用“差的极限等于极限的差” 的运算法则，可先进行通分化简， 再用商的运算法则即 原式= (4) 当时，分子分母均无极限，呈现 形式需分子分母同时除以 将无穷大的 约去，再用法则求 原式= 3.利用无穷小的性质求极限 例3 求下列函数的极限 （1） （2） 解（1） 因为 而 ，求该式的极限需用 无穷小与无穷大关系定理解决 因为 ，所以当 时， 是无穷小量， 因而它的倒数是无穷大量，即 （2）不能直接运用极限运算法则，因为当 时分子，极限不存在，但 是有界函数，即 而 因此当 时， 为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积 仍为无穷小定理，即得 小结 利用无穷小与无穷大的关系， 可求一类函数的极限 （分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）； 利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理 可得一类函数的极限 （有界量与无穷小之积的函数极限） 4.利用两个重要极限求函数的极限 例4 求下列函数的极限： （1） （2） 解（1）分子先用和差化积公式变形， 然后再用重要极限公式求极限 = = （2） = 小结 利用 求极限时，函数的特点是 型，满足 的形式，其中为同一变量； 用求极限时，函数的特点 型幂指函数，其形式为型, 为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数； 用两个重要极限公式求极限时， 往往用三角公式或代数公式进行恒等变形 或作变量代换， 使之成为重要极限的标准形式。 常用等价无穷小: 5. 利用等价无穷小代换求极限 例5 求下列函数的极限 （1） （2） 解 （1） （2）= = = 小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母， 也可代换分子或分母中的因式，但当分子或 分母为多项式时，一般不能代换其中一项。 否则会出错 如上题 , 即得一错误结果 6.利用函数的连续性求极限 例6 求下列函数的极限 （1） 解 (1) 因为是初等函数，在 处有定义，所以 （2） 函数看成由 复合而成，利用分子有理化 = 小结 利用“函数连续的极限值即为函数值” 可求连续函数的极限。 在一定条件下复合函数的极限， 极限符号与函数符号可交换次序 可见 , 函数在点 五、 函数连续性的定义* 定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 ,存在 ; 在 在 六、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在无定义 ; 间断点分类: 第一类间断点: 及均存在 , 若称 若称 第二类间断点: 及中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 内容小结 左连续右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点间断的类型 在点连续的等价形式 练习 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设时 提示: 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 备用题 确定函数 间断点的类型. 解: 间断点 为无穷间断点; 故为跳跃间断点. 2. 求 解: 原式 = 1 作业：教材习题一 (补充）三、 极限 1. 极限定义的等价形式 (以 为例 ) (即 为无穷小) 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极限存在准则及极限运算法则 3. 无穷小 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 机动 目录 上页