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数学练习与题组的设计和训练 越秀区教育发展中心数学科 冼德载 数学练习与 题组练习的设计与训练 一. 数学问题的基本内涵 二. 数学题组与解决问题能力 三. 数学题组练习的特征与功能 四. 数学题组练习的设计与训练 五. 课堂教学中的组合训练 数学问题 数学知识 数学能力 认知层次 数学问题的基本内涵 一个数学问题，既蕴涵了一定的数学知识，又体现了 必要的数学能力，同时也反映了认知层次上的差异。 当一个数学问题有了现实背景时，也就成了生活中的 问题。这时除了数学的认知外，对生活的认识以及对数学 信息的阅读，同样成了问题解决的关键。 1.事实性知识与基本技能 2.理解知识 3.运用规则 4.解决问题 数感、符号感、 空间概念、统计观念、 应用意识、推理能力 数与代数 几何与图形 概率与统计 解决数学 问题的能力 对信息的 阅读能力 对数学概念 与数量关系 的理解水平 整理、分析 与提取 问题特征 的抽象 数学题组与解决问题能力 突出问题的基本特征对问题特征的诊断 突出解决问题的思路 积累解决问题的经验 与方法的特征 通过题组方式的比较（提高能力的方法之一） 总结与概括 数学练习 什么是数学练习？ 学生为理解、掌握数学知识，发展 数学能力，获得数学活动经验而进行的数学活动。 这里既包括完成教师所设立的作业，更包括学生自己主动参 与的观察、实验、猜测、验证、推理和交流，以及现代教育技术 的应用等活动。 学习数学，不可能离开数学的练习。数学的练习，在其学习 的过程中、在其同化知识，建立认知结构中起着十分重要的作用。 它是使学生在获得对数学理解的同时，思维能力、情感态度等多 方面也得到进步和发展的重要手段。 这些练习活动的实施以及它的成效，既有赖于教师的精心设 计和安排，更有赖于教师的精心组织。 数学题组练习的特征与功能 一.结构性 *凸显数学概念外延的基本结构 *凸显隐含在数学问题中的数量关系的基本结构 二.灵活性 *多角度地体现数学问题与数量关系的特征 *让学生多角度地展开数学的思维、寻求解决方法 三.层次性 *体现数学问题在不同层次上的认知（技能）要求 *让学生领会从简单到复杂的数学问题之间的关系 数学题组的设计与训练 1.设计的基本方式：“一题多问”、“一题多变” 一题多问：在一定量的信息中，从不同层次、不同 角度出发提出问题与解决问题，突出数 学概念外延的基本结构。 注意：问题的设计需要考虑结构性与层次性。 一题多变：在同一情境中，通过改变信息或问题 引发出不同的问题解决途径，突出同一 数学概念的本质特征或数量关系的变式。 注意：问题情境的变式要符合学生年龄的思维 特征与生活经验。 2.训练的基本方式： 独立完成 交流对比 合作讨论 * 根据问题与学生的实际确定练习的方式 * 题组训练的主要思维特征：比较 练习前的比较 练习后的比较 方法的比较 思路的比较 * 训练情况的反馈 * 与独立性问题解决的结合 方法的迁移 针对性。就是练习设计的目的要明确，思路要清晰。根 据学习内容与学生实际，有的放矢地进行设计，要注意练 习的实效。同时，相对于不同的课型，其针对性也有别。 新授课： 针对知识迁移的需要，练习题具承上启下的作用。 （铺垫练习） 针对学生在探究过程中可能出现的困难或障碍，练习题 具启发性。 （探究练习） 针对学生形成数学技能或数学知识运用的需要，练习题 具典型性。 （巩固练习） 练习课： 针对学生平时练习中出现的主要问题，练习题具反思性。 （反馈练习） 针对学生数学能力发展的需要，练习题具思考性。 （变式练习、发展练习） 层次性 就是练习的设计要突出层次，也就是根据学生的学 习规律，由浅到深，由简单到复杂，由单项练习到综合 练习。因此，在设计时应考虑以下的一些问题： * 考虑学生学习过程的实际需要。 * 考虑学生认知心理的特点。 * 考虑大多数学生学习的需要，因材施教的需要。 复习课： 针对知识的回忆与整理的需要，练习题呈结构性。 （联系与对比的练习） 针对知识结构的建构与能力的提高，练习呈综合性。 （综合性练习） 反馈与矫正 反映了对练习过程的控制和管理。有序的练习不是“放 羊式”的练习，而是应密切地关注学生的练习情况，随时地 调控教师的教学策略。因此,练习的组织应注意以下的几个 问题： （1）关注学生完成练习的情况。 （2）练习的组织形式要有利于练习情况的反馈。 （3）对练习中出现的问题应能及时地采取有效的矫正措施 练习的设计可按不同的课型特点和教学需要进行组合， 练习内容的设计与练习的组织应根据教学内容的特点、 学生学习水平与认知规律进行。就是说，让学生通过 组合型的练习或训练，逐步地理解、深化知识； 逐步 地掌握相关的技能。 * 对每一个具体的课例，应视其实际内容特点、教学模 式的运用、教师教学设计的思路作调整。就是说，练习 的组合设计，既有普遍性，又有特殊性；既有共性，又 有个性。 新授课练习课复习课 活动课 概念教学 铺垫 引入练习 探索新知练习 巩固理解练习 变式发展练习 唤起回忆练习 知识归纳练习 比较变 式练习 综合运用练习 计算教学 铺垫 性练习 尝试 性练习 模仿性练习 形成性练习 基础性练习 巩固性练习 灵活性练习 综合性练习 解决问题 教学 铺垫 引入练习 方法探求练习 典型范例练习 扩缩题组练习 拓展变式练习 基础性练习 典型性练习 比较性练习 变式性练习 综合性练习 几何教学 操作感知练习 知识归纳练习 巩固新知练习 实践运用练习 问题 情景设 计 操作交流练 习 实践探究练 习 能力发展练 习 课堂教学中的组合训练 百分数在实际情境中的应用 右面是银行去年某天 的存款利率表： 1 . 表中都有哪些百分数？它们各 表示什么意思？（交流） 2 .如果有1000元，存一年，可以 获得多少税后的利息？ 存3年呢?（独立） 3 . 小明有一笔至少在两年内都不会用的钱，你认为该用哪 一种存款方式去存款？（尝试） 4 . 如果把3000元存3年，那么按你的存款方法，到期后会 有多少收益？（比较一下不同方法的收益情况） （讨论） 存 期 年 利 率 （%） 三个月1.80 六个月2.25 一 年 2.52 二 年 3.06 三 年3.69 五 年 4.14 分数初步知识在实际情境中的应用 例：小东有一瓶1升的饮料，小明有一瓶750毫升的饮料。 2 . 如果他们都喝了250毫升，他们各喝了自己那瓶饮料的 几分之几？ （分数基本关系） 1000750 4. 如果他们都剩下250毫升，那么他们各喝了自己那瓶饮料的 几分之几？（概念深化） 1.小东和小明都说：“我喝了我这瓶饮料的 。”他们喝的 同样多吗？ （分数基本特征） 3.请你设计：当他们各喝了自己的饮料的几分之几时，两人 喝的就同样多？并根据有关数据填空：（尝试运用） 独立选择： 他们谁看得页数多？ A 小男孩 B 小女孩 C 同样多 D 说不清 请说说你的理由。 讨论交流： 什么情况下： A 男孩看得多 B 女孩看得多 C 看得同样多 能根据不同结果 分别提出一个数学问题吗？ 整体“1”的量与几分之几的 量 3计算 350 50 = 35 5 = 3 .5 5 = 3.5 0. 5 = “一个数除以小数”的练习设计 铺垫性练习 1. 运用商不变性质填空 (1) 6.21 0.3 =( ) 3 (2) 56.28 0.67 = ( ) 67 2. 判断下面哪几题的商是相等的,并说明理由 （1）3.36 1.2 (2) 33.6 12 (3) 336 120 (4) 3361200 尝试探究练习 计算： (1). 5628 67 = (2). 56.28 67 = (3). 56.28 0.67 = (可以进行讨论交流后再解决) “小数点移动引起小数大小变化”的技能训练 3.把2.4扩大(或缩小) 倍,它的小数点就向( )移动( )位，变为( ) 。 （10、100、1000） 混合性练习 4. 把2.042的小数点向右移动三位,变为( ),再把它缩小100倍,变为( ). 变式性练习 5. 2.042中的4在( )位上,移动小数点后,如果4在千分位上,则原数缩小( )倍; 如果4在个位上,则原数就扩大( )倍;如果原数扩大1000倍,则4在( )位上. 形成性练习 1. 2.4这个数的小数点向右移动 位,原数变为( ),这个数是原数的( )倍. 2.34.6这个数的小数点向左移动 位,原数变为( ),这个数比原数( )倍 . （一、二、三） 分数初步认识巩固练习的设计 1. 看图写分数2. 按分数填上阴影 1. 写出下图中阴影表示的分数。 2.2.在图中用阴影表示下面的分数。 直观的分数 直观分数的构造 表象深化 本质特征的凸显 独立 交流比较 基本练习 基本运用 变式运用 综合运用 （感性积累） （具体迁移） （多角度思考） （信息的分析和运用） 巩固 深化 灵活掌握 开放性 （讨论交流） 认知深化 应用 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 涂上黄色 涂上红色 涂上黄色，涂上灰色 “分数与图形”练习设计_单位“1”的扩展 用分数表示 图中阴影部分 根据分数在图 上涂上阴影 周长和面积辨析练习的设计 1. 格子图上的练习（每一小格都是边长1厘米的正方形）。 （1）各画出3个周长是12厘米的长方形或正方形。 （2）各画出3个面积是12平方厘米的长方形。 （3）周长相等的长方形，它们的面积也相等吗？你发现什么？ （4）面积相等的长方形。它们的周长也相等吗？你发现什么？ （5）给你18块1平方厘米的正方形小纸片，你能拼出几种不 同的长方形？ 通过操作和观察，直观地感知周长和面积的特征 ，领会周长和面积的联系和区别，发展空间 观念。 小数乘除计算的基本训练设计 1. 给下面各题的积点上小数点。 3. 0 5 2.4 1 2 2 0 6 1 0 7 3 2 0 4 2. 8 0. 3 5 2 1 4 0 1 2 8 4 1 4 9 8 0 0. 3 6 0. 1 8 2 8 8 3 6 6 4 8 3. 已知425 36 = 15300，直接写出下面各题的得数。 4.25 3.6 = 4.25 0.36 = 42.5 0.36 = 0.425 0.36 = 15336 = 1530 3.6 = 15.3 3.6 = 15.3 0.36 = 2. 确定下面各题首位的商（位置与数值）。 基本技能 形成 技能的变式运用 平面中的线与角 1.图中的哪些线段是互相垂直的？哪些 线段是互相平行的？ (判断) 2.图中有哪些角是锐角？哪些是钝角？ 哪 些是直角？ (判断) 3.量一量，这里的锐角分别是多少度？ 钝角是多少度？ (操作) 4.你能从这里发现什么？ A F B E G D H C 在对平面直线的关系特征、角的分类与特征的复习整理 基础上，通过对平面图形特点的观察、判断、操作，进 一步深化有关图形特征的表象，培养学生的空间观念。 行程问题的数量关系及运用 1. 数量关系的比较 （1）小明骑自行车每小时走12千米，3小时走（ ）千米。 （2）小明骑自行车每小时走12千米，（ ）小时走36千米。 （3）小明骑自行车3小时走36千米，平均每小时走（ ）千米。 2.实际情境中的估计 （1）小明骑自行车每小时走12千米，3小时能走35千米吗？ （2）小明骑自行车每小时走12千米，走35千米至少要用几小时？ （选择题型） （3）小明要3小时走35千米，平均每小时大约要走多少千米？ （选择题型） 一般数量关系比较 问题情境中的估计 3. 实际运用中的思考 （1）小明骑自行车2小时走了24千米，这样他3小时能走35千米吗？ （2）小明骑自行车2小时走了24千米，这样要走35千米至少需要几 小 时？ （3）小明骑自行车从甲地到乙地，每小时走12千米要用4小时，如 果每小时走10千米，大约需要几小时？ （4）小明骑自行车每小时走12千米，从甲地到乙地要用5小时，这 样他出发3小时后离乙地还有多少千米？ （5）甲乙两地相距60千米，小明骑自行车从甲地到乙地要用5小时， 这样他出发3小时后离乙地还有多少千米？ 在情境图中展示的问题解决 王老师买8本趣味数学和6本故事大王，一共 用了113.6元。一本趣味数学 8.5元，一本故事大王 多少钱？ 单价 数量 总价 趣味数学 8.5元 8本 故事大王 ？元 6本 ？ ？ 113.6元 *题中的哪些信息之间有直接的联系？ *题中的问题与什么数量有直接的联系？ *你是打算怎样解决的？能说说你的想法吗？ *你能发现这样的问题有些什么明显的特征吗？ 注意通过一些典型例题及题组的解决，帮助学生学 会抓住问题情境以及数量关系的主要特征，总结寻求正 确确解法的思路，同时丰富解决问题的经验。 典型问题的解决与变式训练 解决问题 题组的训练（可设计用情境图表示） 1.王老师买了6本故事大王用了45.6元，每本故事大王 多少 钱？80元最多可以买几本？还剩下多少钱？ 2.王老师买8本趣味数学和6本故事大王，一共用了113.6 元。一本趣味数学 8.5元，一本故事大王多少钱？ 3. 一本趣味数学8.5元，一本故事大王7.6元。王老师买了 8本趣味数学和6本故事大王一共需要付多少钱？ 4.王老师买8本趣味数学和6本故事大王，一共用了