高考数学二轮复习课件31变化率与导数、导数的计算.ppt

3.1 变化率与导数、导数的计算 第三编编 导导数及其应应用 要点梳理 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ， 若x=x2-x1,y=f（x2）-f（x1），则平均变化率 可表示为 . 基础知识 自主学习 2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义 称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f（x）在 x=x0处的导数，记作f（x0）或y|x=x0， 即f(x0)= = . （2）几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲 线y=f（x）上点 处的 .相应 地，切线方程为 . (x0,f(x0)切线的斜率 y-y0=f(x0)(x-x0) 3.函数f(x)的导函数 称函数f(x)= 为f（x）的导函 数，导函数有时也记作y. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 导导函数 f（x）=c f(x)= f(x)=xn (nQ*) f(x)= f(x)=sin x f(x)= f(x)=cos x f(x)= f(x)=ax f(x)= cos x 0 -sin x axln a(a0) nxn-1 ex 5.导数运算法则 （1）f（x）g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ; (3) = (g(x)0). 6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x) 的 导数间的关系为y = ，即y对x的 导数等于 的导数与 的导数的乘积. f(x)=ex f(x)= f(x)=logax f(x)= f(x)=ln x f(x)= (a0,且a1) f(x)g(x) f(x)g(x)+f(x)g(x) yu y对u u对x x ux 基础自测 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点 （1+x，2+y），则 为（） A.x+ +2B.x- -2 C.x+2D.2+x- 解析 y=（1+x）2+1-12-1=(x)2+2x, =x+2. C 2.设正弦函数y=sin x在x=0和x= 附近的平均变化率 为k1,k2,则k1,k2的大小关系为（） A.k1k2B.k1k2 C.k1=k2D.不确定 解析 y=sin x,y=(sin x)=cos x, k1=cos 0=1，k2=cos =0，k1k2. A 3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为 （） A.y=3x-4B.y=-3x+2 C.y=-4x+3D.y=4x-5 解析 由y=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切 线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2. B 4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)- f(x)恒成立，且常数a,b满足ab,则下列不等式一 定成立的是（） A.af(b)bf(a)B.af(a)bf(b) C.af(a)bf(b)D.af(b)bf(a) 解析 令g(x)=xf(x),g(x)=xf(x)+f(x)0. g(x)在R上为增函数，ab, g（a)g(b),即af(a)bf(b). B 5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处 切线倾斜角的取值范围是0， ，则点P横坐标的 取值范围为（） A. B.-1，0 C.0，1D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 0, , 曲线在点P处的切线斜率0k1. 02x0+21,-1x0 . A 题型一 利用导数的定义求函数的导数 【例1】求函数y= 在x0到x0+x之间的平均变 化 率. 紧紧扣定义义 进进行 计计算. 解 思维启迪 题型分类 深度剖析 探究提高 求函数 f（x）平均变化率的步骤： 求函数值的增量f = f（x2）- f（x1）； 计算平均变化率 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简 单，只要注意运算过程就可以了. 知能迁移1 利用导数定义，求函数 在x=1处 的导数. 解 方法一 （导数定义法） 方法二 （导函数的函数值法） 题型二 导数的运算 【例2】求下列函数的导数. （1）y=2x3+x-6； （2）y= ； （3）y=(x+1)(x+2)(x+3)； （4）y=-sin (1-2cos2 ）； （5） . 如式子能化简简的，可先化简简，再利用导导 数公式和运算法则则求导导. 思维启迪 解 （1）y=6x2+1. (3)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6， y=3x2+12x+11. 方法二 y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3) =(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2) (x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. 求函数的导导数要准确地把函数分割为为基本 函数的和、差、积积、商及其复合运算，再利用运算法 则则求导导数.在求导过导过 程中，要仔细细分析函数解析式的 结结构特征，紧紧扣求导导法则则，联联系基本函数求导导公式. 对对于不具备备求导导法则结则结 构形式的要适当恒等变变形， 如 （3）小题题;对对于比较较复杂杂的函数，如果直接套用求 导导 法则则，会使求导过导过 程繁琐琐冗长长，且易出错错，此时时， 可 将解析式进进行合理变变形，转转化为较为较 易求导导的结结构形 式，再求导导数，如（2）、（4）、（5）都是如此.但 必须须注意变变形的等价性，避免不必要的运算失误误. 探究提高 知能迁移2 求下列函数的导数. （1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)； （3）y= . 解 (1)y=(5x2-4x+1) =(5x2)-(4x)+(1)=10x-4. (2)y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, y=(6x3+2x2-3x-1) =(6x3)+2(x2)-(3x)-(1) =18x2+4x-3. 【例3】求下列复合函数的导数. (1)y=(2x-3)5; (2)y= ; (3)y=sin2（2x+ ）; (4)y=ln(2x+5). 思维启迪 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过经过 怎样样的顺顺序复合而成;求导时导时 ,可设设出中间变间变 量,注意 要逐层层求导导不能遗遗漏,每一步对谁对谁 求导导,不能混淆. 解 (1)设设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3 复合而成, y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42 =10u4=10(2x-3)4. （2）设u=3-x, 则y= 由y=u 与u=3-x复合而成. 由复合函数的定义义可知，中间变间变 量的选择选择 应应是基本函数的结结构，解这类问题这类问题 的关键键是正确分 析 函数的复合层层次，一般是从最外层层开始，由外向内， 一层层一层层地分析，把复合函数分解成若干个常见见的 基 本函数，逐步确定复合过过程. 探究提高 (3)设y=u2,u=sin v,v=2x+ , （4）设y=ln u,u=2x+5,则 知能迁移3 求下列复合函数的导数. (1)y= ; (2)y=x ; (3) 解 (1)y=-3(1-3x)-4(1-3x)= . 题型三 导数的几何意义 【例4】 （12分）已知曲线方程为y=x2, （1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程； （2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程. （1）A在曲线线上,即求在A点的切线线方程. （2）B不在曲线线上，设设出切点求切线线方程. 解 （1）A在曲线y=x2上, 过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切 点. 2分 由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 4 分 因此所求直线的方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 6分 思维启迪 （2）方法一 设过B（3，5）与曲线线y=x2相切的直线 方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分 y=kx+5-3k, y=x2 得x2-kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0. 整理得:(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10.10分 所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分 方法二 设切点P的坐标为(x0,y0), 由y=x2得y=2x, x=x0=2x0, 8分 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5,10分 切点坐标为(1,1),(5,25), 所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分 由 探究提高 （1）解决此类问题类问题 一定要分清“在某点 处处的切线线”，还还是“过过某点的切线线”的问问法. （2）解决“过过某点的切线线”问题问题 ，一般是设设出切点 坐标为标为 P（x0，y0），然后求其切线线斜率k=f(x0), 写出其切线线方程.而“在某点处处的切线线”就是指“某 点”为为切点. （3）曲线线与直线线相切并不一定只有一个公共点，当 曲线线是二次曲线时线时 ，我们们知道直线线与曲线线相切，有 且 只有一个公共点，这这种观观点对对一般曲线线不一定正确. 知能迁移4 已知曲线 . (1)求曲线在x=2处的切线方程； (2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）y=x2, 在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4. 曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. （2）设曲线 与过点P（2，4）的切线 相切于点 ， 则切线的斜率k=y|x=x = . 切线方程为y- 即 0 点P（2，4）在切线上，4= 即 (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 方法与技巧 1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与 (f(x0)是不一样样的，f(x0)代表函数f(x)在x=x0 处处的导导数值，不一定为为0；而(f(x0)是函数值 f(x0)的导导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导导数 一定为为0，即(f(x0)=0. 2.对对于函数求导导，一般要遵循先化简简，再求导导的基 本原则，求导时导时 ，不但要重视视求导导法则的应应用， 而且要特别别注意求导导法则对对求导导的制约作用，在实 施化简时简时 ，首先必须须注意变换变换 的等价性，避免不 必要的运算失误误. 思想方法 感悟提高 3.复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法 则，将问题转化为基本函数的导数解决. （1）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函 数复合而成的，适当选定中间变量； （2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求 导，而其中特别要注意的是中间变量的关系； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则， 求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的 函数； （4）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略 ，不必再写出函数的复合过程. 失误与防范 1.利用导数定义求导数时，要注意到x与x的区别， 这里的x是常量，x是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号 ，防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切 线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这 和研究直线与二次曲线相切时有差别. 一、选择题 1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位 移为 ，那么速度为零的时刻是 （） A.0秒B.1秒末 C.2秒末D.1秒末和2秒末 解析 v=s（t）=t2-3t+2， 令v=0，得t1=1,t2=2. D 定时检测 2.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点，则点P到直线 y=x-2的最小距离为（） A.1B. C. D. 解析 过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线y=x2-lnx 相切，设P（x0,x -ln x0）,则k=y|x=x0=2x0- 2x0- =1,x0=1或x0= (舍去). P(1,1), B 3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l 的 方程为（） A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0 解析 y=4x3=4,得x=1,即切点为（1，1），所以 过该点的切线方程为y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0. A 4.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角 形的面积为 （ ） A. B.2e2 C.e2 D. 解析 点（2，e2）在曲线上， 切线的斜率k=y|x=2=ex|x=2=e2, 切线的方程为y-e2=e2(x-2). 即e2x-y-e2=0. 与两坐标轴的交点坐标为（0，-e2），（1，0）， S= D 5.（2009全国理，9）已知直线y=x+1与曲线 y=ln(x+a)相切，则a的值为（） A.1B.2C.-1D.-2 解析 设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为（ x0,y0）,则y0=1+x0,y0=ln(x0+a),又y= 即x0+a=1.又y0=ln(x0+a), y0=0,x0=-1,a=2. B 6.（2009安徽文，9）设函数 其中 ，则导数f(1)的取值范围 是 （ ） A.-2，2B. ， C. ，2D. ，2 解析 由已知f(x)=sin x2+ cos x, D 二、填空题 7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A ，B,C的坐标分别为（0，4）,（2，0）,（6， 4 ），则f（f（0）= ； . （用数字作答） 解析 由A（0，4），B（2，0）可得线段AB所在直 线的方程为f(x)=-2x+4 (0x2).同理BC所在直线 的方程为f(x)=x-2 (2x6). -2x+4(0x2), x-2(2x6), 所以f(0)=4,f(4)=2. f(1)=-2. 答案 2 -2 所以f(x)= 8.（2009福建理，14）若曲线f(x)=ax5+ln x存在 垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 解析 f(x)=5ax4+ ,x(0,+), 由题知5ax4+ =0在（0，+）上有解. 即a=- 在（0，+）上有解. x(0,+), (-,0). a(-,0). (-,0) 9.（2009江苏，9）在平面直角坐标系xOy中，点P 在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知 曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 . 解析 设P（x0,y0）(x00),由题意知 =2, =4.x0=-2,y0=15. P点的坐标为（-2，15）. （-2，15） 三、解答题 10.求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的