物理奥赛：力学牛顿运动定律.ppt

第四专题 牛顿运动定律 解题知识与方法研究 疑难题解答研究 例题7 例题8 一、加速度关联关系的寻求与利用 二、平动匀加速非惯性参照系与匀 强（保守）力场的等效 例题6 一、加速度关联关系 1、何谓加速度关联关系？ 在某些物体系统中，各物体由于特定的连接关系或者特定的几何位置关系，使系统 中各物体的加速度的大小具有固定的关系. 善于分析和利用这种关系对解题往往十分重要！ 解题知识与方法研究 （3） A B （2） A BC （1） 2、分析的方法 1-1、由物体间的位移关系速度关系确定加速度的关系 1-1-1、当直线运动的各物体间的位移的大小关系为线性关系时： 对图（1）,假定相对地面 则C、O相对地面有 A、B相对动滑轮O有 A、B相对地面有： 于是有 例如： A BC （1） 1-1-2、各物体非直线运动或位移大小关系为非线性关系时： 需利用高等数学求导确定加速度的关系. 例如：对如图所示的半圆柱和柱面上小球 的运动，便属这种情况. A （2） 例1 在如图所示的系统中，A、B两物体原来处于 静止，所有接触处均无摩擦，求滑动过程中aB=? 解分析A、B的受力如图. B mgN Mg N 由牛顿运动定律 需寻找aA、aB的关联关系！ D E 由图可知， 所以 由方程、解出： 对A： 对B： C 题后思考 从前面第二专题中的平面运动物体 接触处的速度关系方向思考本题. 例2 如图所示的系统中滑轮与细绳的质量可忽略不 计，细绳不可伸长，且与滑轮间无摩擦，三个物体的质量 分别为m1、m2、m3, 它们的加速度方向按图示设定. 试求 这三个加速度量a1、a2和a3. 解系统中各段绳子中的张力如图. 三个物体的动力学方程为： 确定三物体的加速度的关联关系： （1）先假定m2不动，当m1下降h1时， （2）再假定m1不动，当m2下降h2时， m3将上升 m3将上升 综合以上两种情况，则实际上m1下降h1，m2下降h2时， 于是得到 m3将上升 先将绳上的K点固定 然后放开，再分析 （2）中m3的位移情况 解方程组得： 题后总结 解本题的困难在于确定加速度的关联关系; 加速度的实际方向不一定为题设的方向. 1-2、利用运动的相对性寻找加速度间的关联关系式，并对其进行分解 例3 如图，一劈上放一物块，各接触 面均光滑. 求M、m相对地面的加速度. 解 m沿M的斜面下滑，而M后退. 研究M: 研究m: N 在水平方向上， 在沿斜面方向上， 在垂直斜面方向上， 在竖直上向上， N 研究加速度的关联关系： 研究加速度的关联关系： 在斜面方向上： 在垂直斜面上向上： 由、解出： 题后总结与思考 解本题的关键在于得到并分解 试用非惯性参照系解答本题. N N 二、平动匀加速非惯性参照系与匀强（保守）力场的等效 引力场与非惯性参照系的等效是建立广义相对论的经验基础： 在无引力的太空中以g 加速上升的升降机中 地球 在静止于地面上的升降机中 爱因斯坦的理想实验 在如图所示的两种情况下，密闭的 升降机中的观察者所进行的一切力学实 验都是等效的，无法将两种情况区分. 对处理问题的好处： 加速度为 的平 动非惯性参照系 匀强保守力场(场强为 的 引力场，场强为 的静电场等等). （1）转化为熟悉的情景； （2）不忽略任何相关物体的受力. 例4 如图所示，在密闭的车内用细线拴一 氢气球. 设气球的体积为V,质量为m（包括气球内 的氢气），车内空气的密度为. 当车以加速度a 向左行驶时，最终细线的拉力的大小和方向. 解据经验气球最终将偏向右方静止在车内. 以车为参照系，则气球处于平衡状态. 分析气球受力： 由平衡条件得： 即 解出： 气球真的是偏向车右 方然后静止吗？ 所以气球会向左偏. 气球静止后，由平衡条件： 即 解出： 将非惯性参照系等效于场强向右的匀强引 力场分析气球受力： 题后总结 题目对知识的深度要求较高； 所作的解答将动力学问题化为了静力学问题. 气球究竟偏向车的 那一边？ 还有向左的“浮力”F. 例5 在静止的车厢内有一幅角为（090）的圆锥摆，当摆球处于图中的最左 边的位置时车厢开始以常量a向右做水平匀加速运动，试问摆球相对车厢是否有可能恰好 从此时刻开始以某另一 （0 90）为幅角作圆锥摆运动？ 解 车厢未加速前，摆球相对车厢的速度大小v可求： 设摆求质量为m，摆长为L, 则有 L 得到 引入一等效重力 加速度g，如图所示. 车厢加速后，车厢为平动匀加速非惯性参照系， 等效于一向左的场强为a的引力场. L 若摆球恰好能从车厢开始加速时相对车厢继续 做圆锥摆运动，则其轴线必沿g方向， 幅角为： 若继续作圆运动，此时的圆运动速度同样为v， 类似于， 进一步研究其可能性及条件： 由、得 由得： 再将代入， 进而得： 也应满足 得： 的大小 取决于a ，最后结 果由a决 定?! L 即得 由此解出 从以上讨论知， 仅当a满足式时摆球才可 其幅角为继续作圆锥摆运动， 题后思考 定性估计，如果a为不满足式的其他 值，小球将可能作些什么运动？ 唯一的a便对应着唯一的 ： 疑难题解答研究 例6 系统如图所示，绳与滑轮间光滑接触，绳不可伸长，它的质量可忽略不计. 质量为m的小孔环套在绳的左侧，两者间的最大静摩擦力同为常量f0mg. 绳的两端所 挂的物体的质量分别为M1和M2. 系统从静止开始释放，将小孔环的加速度记为am, 小孔 环下面悬挂的物体M1的加速度记为aM，试求am、aM的方向及大小. M1 M2 mam aM 解 由于M1、M2的大小关系不确定，所示 am、aM的方向存在多种可能性. 、am向下，aM向上（包括aM=0）： 则小环受到的滑动摩擦力向上，大小为f0. 、am向下，aM也向下： 、am向下，aM也向下： M1 M2 mam aM 、am向上（包括am=0）： 这与题设矛盾. 则小环所受的摩擦力向上，大小为 f = mg+mamf0， 所以这种情况不可能出现. 综上所述，可能出现的情况是： （一）am向下，aM向上（包括aM=0）， （二）am向下，aM向下 则小环的静摩擦力不能为零，不能向下, 下面就以上可能出现的情况求am、aM的大小： （一）am向下，aM向上（包括aM=0）， M1 M2 m 如右图所示. 有动力学方程： 解得： am aM aM f0 T1 T2 若此条件不满足，便出现情况 （二） ：am向下，aM向下 此结果出现的 条件如何？ T1=T2 （二）am向下，aM向下， M1 M2 m 据（一）所述，出现这种情况的条件是： （从而使得aM方向向下） am aM aM f0 T2 T1 解得： 首先应要求 其条件为式. 进而要求 即 其得以成立的条件为： 或者为： 有动力学方程：由右图 此结果出现的 条件如何？ 、两式同时成立的必要条件是 即 这是显然成立的. 所以式必定成立. 因此适当选择M2便可使、两式同时成立. 有动力学方程: a a a M1 M2 m f T2 T1 解出 首先要求即 (2) 如右图所示. M1 M2 m a a a f T2 T1 因式已成立： 所以必有 即 其次还要求 将a的表达式代入得： 所以即要求 所以要使、两式同时成立， 而可证明 只要成立即可. 成立. 综合以上各种情况知： （A）am向下，aM向上（包括aM=0）， 其解为： （B） am向下，aM向下， 其解为： （C）am向下，aM向下， 其解为： 题后总结 本题的最终结果是随条件 而变化的; 而各种条件由需要自己去 全面概括; 对各种条件还需进行分析 判断. 例7、 质量与半径均足够大的光滑圆盘以匀角速度绕过圆心的固定竖直轴转动. （1）质量分别为ma、mb的两个光滑小球a、b，用劲度系数为k、自由长度为L的轻弹 簧相连后置于圆盘上，试对所有可能达到的稳定状态（即a、b相对于圆盘的静止状态）计 算a、b各自与圆心的距离. （2）a、b、c为三个光滑小球，a、b间及b、c间均用劲度系数为k，自由长度为L的轻 质弹簧相连后置于圆盘上，若排除两弹簧重叠的可能性，且设a、b、c的质量分别为 试讨论系统达到稳定状态的可能性. 解 O ma mb ra rb （1）系统稳定时，a、b均相对圆盘的圆心作圆周运动. 圆形O必在a、b的连线上，且圆心O只能在a、b之间. 于是对a、b两球有: 解出： O ma mb ra rb 讨论： 因ra、rb均为正， 此时， （2）如图所示，据（1）的分析知：a、b、c不共线的 状态不可能是稳定状态. 仅当满足： 才有可能为稳定状态. 、设圆心O在a、b之间. O x 建立如图所示的坐标. mambmc Oxaxbxc 要求： 对a、b、c分别建立动力学方程： 才有可能达到稳定状态. 、三球共线； 、圆心在三球的连线上； 、圆心在a、c之间. 故仅当 即 ma mb mc mambmc O x xa xbxc 将代入后得： 解此线性方程组得: 此结果不符合中的各项要求, 所以不能出现这种稳定状态. 、设圆心O在b、c之间.建立如图所示的坐标. mambmc xaxbxc x O 要求： 对a、b、c分别建立动力学方程： mambmc xaxbxc x O 将 代入后得： 解此线性方程组得: 此结果不符合中的各项要求. 所以也不能出现这种稳定状态. 题后总结 本题难度不大，属开放性问题，关键在于要对各种 可能出现的情况进行全面地讨论. 故三球构成的系统不可能达成稳定状态. 例8 如图，水平桌面上平放共计54张的一叠牌，每一张牌的质量相同，用一根手 指以竖直向下的力压着第一张牌，并以一定的速度向右移动手指，确保手指与第一张牌 之间有相对滑动. 引入 =N/mg以表征手指向下的压力N 的大小，其中m为每张牌的质量 .设手指与第一张牌之间的摩擦系数为1，牌与牌之间的摩擦系数为2，第54张牌与桌 面之间的摩擦系数为3. 且有1 2 3 .（可视滑动摩擦等于最大静摩擦） （1）试问第2张牌到第54张牌之间是否可能存在相对滑动？ （2） 很小时，54张牌都不动，这是牌组的一种状态； 稍大些，第1张牌向右加 速，其余牌均不动，这是牌组的另一种状态，试给出牌组全部可能出现的状 态，分析每一种状态出现的条件（条件的表 达式中只能包含 、1、2和3参量）. （3）对各种给定的1 2 3的值， 调控，至多能出现多种状态？若取1 = 1.05、2=1.03、 3=0.5, 调控，至多能出 现多少种状态？ 第1张牌 2 3 53 54 （1）试问第2张牌到第54张牌之 间是否可能存在相对滑动？ 第1张牌 2 53 54 解 如图，将各界面进行编号. 各界面可能出现的滑动摩擦分别为 ： 将实际出现的摩擦力记为 f k , 研究第2张牌第53张牌： k 界面0 1 2 52 53 54 k-1 k 其中的第k张牌上、下两表面受到的实际摩擦力为 若第k张牌相对第（k+1）张牌滑动，则 fk 必为滑动摩擦，而 fk-1可能为滑动摩擦或者 于是有 且要求 即还要求 故第2张牌至第54张牌之间不可能发生相对滑动，而 只可能作整体移动. 静摩擦. 则必有 而由的计算式知这是不可能的. 注意：第一张牌是个例外哦！ （2） 很小时，54张牌都不动，这是牌组的一种状态； 稍大些，第1张牌向右加 速，其余牌均不动，这是牌组的另一种状态，试给出牌组全部可能出现的状 态，分析每一种状态出现的条件（条件的表达式中只能包含 、1、2和3参量）. 解记 1第1张牌. 2-54第2张至第54张牌的整体. 则可能出现的状态有 、 1、2-54都不动； 、 1动、2-54不动； 、1、2-54同步动（向右）； 、1大动、2-54小动； （不可能有1不动、2-54动的情况出现） （不可能有1小动、2-54大动的情况出现） 下面分析各种状态出现的条件： 第1张牌 2 54 界面0 1 54 为方便研究图中将1、2-54、 以及桌面间的接触面画开了. 下面分析各种状态出现的条件： 、1、2-54都不动 要求 即 应取其中较小者. 若即 则取 若 即 则取 、1动、2-54不动 要求 第1张牌 2 54 界面0 1 54 、1动、2-54不动 要求 即要求 式中有解的条件是 即 、1、2-54同步动（向右） 设同步加速度为a. 则要求 第1张牌 2 54 界面0 1 54 当 即 时, 可取任意值; 即 时, 则取 此要求 即 这要求 所以，若 于是要求 结合考虑： 而此式的成立易证. （一） （二） 、1大动、2-54小动： 第1张牌 2 54 界面0 1 54 设1的加速度为a1, 2-54加速度为a2, 则要求 这首先要求在此前提下应取上述两式中的较大者. （一）若 而前面已证明 故可取 （二） 若 而前面已证明 故当可取 （3）对各种给定的1 2 3值，调控, 至多能出现多种状态？ 若取1 =1.05、 2 =1.03、 3 =0.5, 调控，至多能出现多少种状态？ 解 对（2）中的种种情况总结如下表： 、1、2-54都不动 若 若 、1动、2-54不动 、1、2-54同步动 （向右） 、1大动、2-54小动 将2的种种取值范围与四种可能出现的状态