大学物理实验—数据处理的方法与技巧.ppt

误差理论与数据处理 第2页 数字舍入规则： 舍去部分的数值大于保留部分末位半个单位，则末 位加1； 舍去部分的数值小于保留部分末位半个单位，则末 位不变； 舍去部分的数值等于保留部分末位半个单位，则末 位凑成偶数。 数据修约有国家标准（GB18071987） 1）有效数字 第3页 简单记为“四舍六入，奇进偶舍” 或 “逢五凑偶” 原有数据保留4位有效数字 3.141593.142 2.717292.717 4.510504.510 3.215503.216 6.3785016.379 7.6914997.691 5.434605.435 1）有效数字 第4页 在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度， 所有参与运算的数据，在有效数字后应多保留一位数字作 为参考数字（或安全数字）。 （1）加减 以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位 小数字，最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。 （2）乘除/平方或开方 各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据 要比有效位数最少的数据位数多取一位数字。 最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同。 1）有效数字 误差的定义及表示法 绝对误差： 测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差。 绝对误差测得值真值 修正值：实际工作中常用修正值。 为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果 上的值称为修正值。 修正值真值(约定真值）测得值 测量结果(真值)测得值修正值 2）误差的基本概念 第5页 相对误差 测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。 GUM中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值的最佳估计值） 。 （1）无单位（无名数），通常以或10-d表示 （2）通常可比较不同测量的质量如何。 2）误差的基本概念 第6页 引用误差(fiducial error) 式中引用值 xm 通常指全量程或量程上限， 示值误差 xm是该量程范围内任一刻度点的 示值的绝对误差中的最大值。 分析讨论：引用误差和相对误差的区别？ 2）误差的基本概念 第7页 第8页 实例：现用1.0级、量程为150伏电压表来进行测量，问： 1）该电压表的引用误差是多少？ 2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是多少？ 3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是多少？ 4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是多少？ 5）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是多少？ 6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是多少？ 7）用0.5级、量程为300伏电压表一起测量100伏电压时，哪个更准？ 解：1）该电压表的引用误差是： 1 2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是： 解： 3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是： 1.5V。 4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是： 1.5V。 解： 5）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是： 6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是：当用1.0级、量程为100伏的电表测量时，有 解：7）当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时，有 结论：(1)一样准确。 (2)仪表等级越高成本越高 。 2）误差的基本概念 按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的 影响方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三 类： 1系统误差 在同一条件下多次测量同一量值时，其绝对值和符号 保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差， 称为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为: （1）定值系统误差 ：即误差的大小和方向为固定值。 （2）变值系统误差：即误差的大小和方向为规律的变化 值。 为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值 称为修正值。 3）误差的分类 第9页 第10页 2.随机误差 在同一条件下，多次测量同一量值时，其绝对值和符号 以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差，过去也 叫偶然误差。 3.粗大误差（异常值） 明显歪曲测量结果的误差称为粗大误差，过去也叫过失 误差或疏忽误差。 测量结果中有无粗大误差必须判断并剔除。 3）误差的分类 1）变值系统误差的发现方法之一：残差观察法 4）系统误差发现方法 1）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？ 2）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？ 第11页 第12页 2算术平均值的差值与标准差比较法 对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（ 或多组）测量。设测量次数分别为n1和n2次，得两组算术平均值： 其实验标准差分别为： 4）系统误差发现方法 第13页 算术平均值之差的标准差为： 由于两组测值是服从正态分布的随机变量，故其算术平均值的差值也 服从正态分布，因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有定值系 统误差，即： 两组算术平均值之差为： 4）误差的分类系统误差发现方法 第14页 例1 惰性气体（氩）的发现。雷莱（Rayleigh，多译为瑞利）测定氮气 的密度。 化学方法制得的氮，其平均密度和标准差分别为2.29971和0.00041； 从大气中分离的氮，其平均密度和标准差分别为2.31022和0.00019 取置信概率p=99.73%来判断，则 故可判断其中一定有系统误差，经检查由于操作技术等明显因素产生系 统误差的可能性很小，进一步仔细分析，结果发现了惰性气体（氩）的 存在。 4）系统误差发现方法 单次测量的标准偏差： 算术平均值的标准偏差： 5）随机误差的计算 第15页 不等精度测量： 权的概念 应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重 大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重 小一些。 各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为 该测量结果的“权”，记为p。测量精度愈高，可靠性愈 高，应给予的“权”应愈大。 5）随机误差的计算 第16页 第17页 加权算术平均值 对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 设相应的测量次数为 （215） 根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值为 5）随机误差的计算 我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方 法是： 1、在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准则。 2、在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。 三种粗大误差判断准则 ： （1） 3准则（莱以达准则 ） 当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值 |v|3 时， 则剔除此数据。 6）异常值处理 第18页 （2）格拉布斯（Grubbs)准则。 设独立重复测量的一个正态分布的测量列x1，x2，xn， 其测量标准偏差为 s(x) 对其中的一个可疑数据xd,(其残余偏差vd的绝对值最大）， 若： 则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予保留。 上式中系数G（，n）为格拉布斯准则的临界值，由测量次 数n，和选定的显著性水平（相当于犯“弃真”错误的概率 ）查表选取。显著性水平通常选为0.01或0.05。 6）异常值处理 第19页 （3）狄克逊（Dixon)准则 正态测量总体的一个样本x1, x2, ， xn ，按从小到 大顺序排列为 ，分以下几种情况： 6）异常值处理 第20页 （3）狄克逊（Dixon)准则 6）异常值处理 第21页 第22页 异常值判断操作原则 逐个剔除原则：在应用上述准判断粗大误差时，若同时有两个以 上的测得值的残差i超出判断界限，也只能剔除其中|i |最大的 那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的一个） ； 之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均值、残差及实验标 准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止。那些 在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据 ，在重新计算后，其|可能不超过判断界限，所以每次只能剔除 一个超限的数据。 我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是： （1）在只剔除1个异常值时采用格拉布斯（Grubbs)准则。 （2）在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。 6）异常值处理 7） 间接测量 直接测量 无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接 得到被测量值的测量。 e.g. 游标卡尺测零件直径D。 间接测量 实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量 值的测量。 e.g. 通过测量圆柱体的圆周长度L，通过已知函数关系式D=L/，得 到所求的零件直径D。 函数误差 间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这种误差称为函数误 差。 第23页 8）函数误差计算 已定系统误差 随机误差 线性无关 完全正相关 第24页 相关系数 特征： 当01时，两随机变量呈正相关，即一随机变量增大时，另一随机变量的 取值平均地增大；当-10时，两随机变量呈负相关，即一随机变量增大 时，另一随机变量的取值平均地减小； 当=-1时，两随机变量完全负相关；当=1时，两随机变量完全正相关；此 时两随机变量之间有着确定的线性函数关系； 当=0时，两随机变量间线性无关，即一随机变量增大时，另一随机变量的 取值可能增大也可能减小；此时仅表示两误差间线性无关，并不表示它们 之间不存在其它函数关系。 第25页 8）函数误差计算 实际工作中相关系数的确定： （1）观察法 （2）直接计算法 8）函数误差计算 第26页 应用举例 圆柱体体积V的测量 用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 10.08510.08510.09010.08010.08510.080 高度h (mm) 10.10510.11510.11510.11010.11010.105 8）函数误差的计算 第27页 应用举例-圆柱体体积V的计算（续） 1、确定函数关系计算体积值 8）函数误差的计算 2、计算误差传递系数 3、计算相关系数 4、计算函数随机误差 第28页 9）误差的合成 用已定系统误差修正测值 随机误差和未定系统误差合成 未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分布，具有一定的 抵偿作用，可以采用随机误差的合成公式进行合成 随机误差和未定系统误差采用发差合成方式，评估测量结果的分散 性 第29页 不确定度定义： 不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征 合理赋予被测量的值的分散性。 准确度定义（精度）定义： 测量结果与被测量真值之间的一致程度。国际“ 通用计量学术语”中在B.2.14这条下有两条注解： 不要使用 “precision”来表示准确度。 准确度是一个定性概念，可以用准确度高低、准 确度为0.25级、准确度为三等及准确度符合标准 的说法。尽量不使用准确度为0.25%,16mg，16mg等 方式表示。 10）测量不确定度 第30页 不确定度与误差的区别： 测量误差测量不确定度 1测量值与真值之差，表明测量 结果偏离真值的量 表明测量值的分散性 2由于真值不可知，往往不能准 确得到。 可以根据实验，或者资料、经 验等进行评定，从而可定量确 定。 3是有正负号的量值无正负符号的参数 4已知系统误差的估计值时，可 以对测量值进行修正。对变值 系统误差无法处理。 不能用不确定度对测量结果进 行修正。无系统不确定度或随 机不确定度提法。 10）测量不确定度 第31页 不确定度的分类： 标准不确定度： 用标准偏差表示的不确定度。 A类标准不确定度： 用统计方法评定出的不确定度 B类标准不确定度： 用非统计方法评定出的不确定度 合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成得到 扩展标准不确定度：由合成标准不确定度乘以包含因子k得到 10）测量不确定度 第32页 (一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。 (二）符号：用符号 u 表示，有多个分量时用u i表示 (三）评定方法： 11）标准不确定度的A类评定 第33页 标准不确定度的B类评定： （一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。 （二）符号：用符号 u 表示，有多个分量时用 u i 表示， 当既有A类又有B类时，下标 i 统一编号。 （三）评定方法： B类评定方法获得的不确定度，不是依赖于对样本 数据的统计计算，而是设法利用与被测量有关的其他先验 信息来进行估计，这些先验信息如：有关测量方法、测量 仪器、物理常数等的资料。 例如：1986年基本物理常数推荐值给出基本电荷e的值是 1.60217733 1019（19）C（库），并且注明了括号中的数字是 一倍标准偏差且与前面给定值的末位对齐，并给出其自由度为17。 第34页 12）标准不确定度的B类评定 B类标准不确定度的具体评定方法： 1、已知扩展不确定度 U 是标准不确定度的k倍时： 前述的不确定度信息来源中，有时信息是以“扩展不确定度 U 是标准不确定度的k（包含因子）倍”给出，把扩展不确定度U除以 已知的包含因子k即可得到B类标准不确定度。 如：当前对热电偶、色温度仪器、核素活度计、发光强度计、维氏 硬度计、圆锥量规锥度仪器等在其检定系统中明确规定按 k3 给 出扩展不确定度U； 对超声功率计、黑白密度计、橡胶硬度计等，明确规定按 k2 给出扩展不确定度U。 例：校准证书表明标称值为1000g的标准砝码的质量为1000.000325g, 且其扩展不确定度按3倍标准偏差计，为240g, 这样可知：u = U3 = 2403 = 80g 12）标准不确定度的B类评定 第35页 属于类似已知信息的一种特例： 当前还有不少测量仪器仍沿用50年代以来的习惯， 用的倍数来表示校准结果的可靠程度。例如： 1）射频与微波功率计、脉冲参数计量仪器、真空测量仪器等习惯 用 3 来表示校准结果的可靠程度； 2）燃烧热测量仪器、电导流量仪器、水流量测量仪器等习惯用 2 来表示校准结果的可靠程度。 3）液体闪烁放射性活度测量仪器、质量测量仪器等，给出置信概 率为99.73%的情况下，由于原假设为理想的正态分布，故其含义实际 为 3 。 碰到这种情况，只要除以相应的系数后得到单倍的 ， 并令：u = 即可，但要注意将其系数判断清楚。 第36页 12）标准不确定度的B类评定 2、已知扩展不确定度UP (常用U95 和 U99 ）： 扩展不确定度 UP 的下标p表示的是扩展不确定度U的置信概率。 置信概率还和分布的类型有关，如果没有特殊说明，则按正态分布考 虑。 这时相对应的包含因子k与置信概率p的对应关系为： p = 95% 时 k = 1.96 ，扩展不确定度符号：U95 p = 99% 时 k = 2.576 ，扩展不确定度符号：U99 因此，知道了置信概率 p 就相当于知道了相应的包含因子 k 的 值。 当已知信息不但包括扩展不确定度 UP （例如 U95 和 U99 ）。而且 还给出了自由度，这时如果没有特殊说明，则按 t分布考虑，需 按给定的置信概率 p 和 给定的自由度 查 t 分布表来得到相 应的包含因子 k 的值，该值与相同置信概率下的正态分布的 k 值 不同。（大于正态分布的k值） 第37页 12）标准不确定度的B类评定 3、给出置信区间的上下限的情况： 已知信息表明:在 x a 区间内包含了X全部可能值， 这种情况实际上可以 理解为给出了最大误差限 ，或给出了极限误差。则根据极限误差的分布特 征确定B类标准不确定度。 例如：手册上给出纯铜在20 时的线膨胀系数20 为 16.5210 -6 -1, 并说明此值变化的区间不超过0.40 10 -6 -1 。根据此有限的信息，可 以认为手册所给出的20 的置信区间的上限a+和下限a 相同，均为 0.40 10 -6 -1， 也就是可以认为 20 的值，等概率地落在 (16.520.40) 10 -6 -1 范围内的概率为100，而落在该范围外的概 率为零。 将线膨胀系数20取为 16.5210 -6 -1 ，这时其B类标准不确定度如何确 定？ 20的分布是什么分布？ 20的分布可认为是均匀分布，其半宽度为0.40 10 -6 -1 ，该均匀分布 的标准偏差为0.40 10 -6 =0.23 10 -6 -1，故其B类标准不确定 度 u = 0.23 10 -6 -1。 第38页 12）标准不确定度的B类评定 4、当知道测量仪器的引用误差时： 引用误差（fiducial error of a measuring instrument） 测量器具的最大绝对误差与该标称范围上限（或量程）之比。则根据引 用误差的分布特征确定B类标准不确定度。 如：试评定引用误差为0.2级的压力表的B类标准不确定度。 解：因引用误差为0.2% ,则在其全量程（FS)范围内的最大的可能误差为 ： 0.2% （FS），除了最大误差点外，其他点的误差应小于最大误 差值，每个测值点从最大误差值到“0”误差值都可能出现，只能整体上 认为在每个测值点上不同误差出现的概率相等，故引用误差时误差分 布认为是均匀分布。 因此，在全量程范围内的每一个测值点的B类标准不确定度为：0.2% （FS) 第39页 12）标准不确定度的B类评定 5、测量仪器的分辨力等导致的标准不确定度 5.1分辨力导致的标准不确定度 分辩力定义为：显示装置能有效辨别的最小示值差，对目前广 泛使用的数字式显示装置，即变化末位一个有效数字时，其示值 的变化，即所谓步进量。 分辩力导致的示值误差限为0.5个步进量，即其分辩区间的半宽a 为0.5步进量。由于被测量可能出现在这一分散区间之内的任一 点的概率相等，应估计其分布类型为均匀分布。 设分辩力为x ,则由此而带来的B类标准不确定度为： 0.5 x 0.29 x 例：指示装置最末位的数字是1g的数字式称重仪器由分辨力等导致的标准 不确定度为： 0.51 0.2910.29g 第40页 12）标准不确定度的B类评定 5.2 连续测量时测量仪器的示值滞后导致的标准不确定度 （计算与分辨力导致的标准不确定度类似） 连续测量读数时，一个仪器的示值可能在不停地递增或递减，且仪 器可能对平衡点有一个振荡，造成仪器读数不能及时同步显示，若 此原因引起的可能读数宽为 dx ，则由滞后引起的标准不确定度为： 第41页 12）标准不确定度的B类评定 6、没有给出不确定度的数据 一些手册中查出的数据不少都没有有关不确定度的任何信息，应考虑 舍入误差或误差限。例如以下的密度表： 对铝，其舍入误差界限为0.005, 满足均匀分布，故其B类标准不确定度 u = 0.005/ =0.003 g/cm2 ， 对玻璃，其最佳估计值为(2.4+2.8) 2=2.6，按半区间宽为0.2 的均匀分 布求其B类标准不确定度u=0.2/ =0.12 (g/cm2) 物质密度(g/cm2) 铝2.70 铅11.3 玻璃2.42.8 第42页 12）标准不确定度的B类评定 若不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定 的函数关系，则应根据具体情况按A类评定或B类评定 方法来确定各不确定度分量ui的值，然后求得合成标 准不确定度为： 若y =x1+x2+ +xm ,且 xi 相互间独立时， 13）合成标准不确定度的评定 第43页 对于间接测量的情况， Y = F(X1,X2,Xm)时，有如下 的合成标准不确定度公式： 式中： uc(y)输出量估计值y的合成标准不确定度 u(xi),u(xj)输入量估计值 xi和xj 的标准不确定度 函数 F(X1,X2, ）在(x1,x2,xm)处的偏导数， 称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数； ij Xi和Xj 在(xi,xj) 处的相关系数 13）合成标准不确定度的评定 第44页 下面有关A类B类标准不确定度的概念和提法那些对？ 那些不对或不准确？ 1、测量的不确定度为0.002mm。 测量结果的不确定度为0.002mm。 测量仪器的（示值）不确定度为0.002mm。 2、测量仪器示值的最大允许误差为0.002mm。 测量仪器的最大允许误差为0.002mm。 测量仪器的最大示值误差为 0.002mm。 测量仪器的误差为 0.002mm。 3、测量仪器的准确度为三等或三级。 4、测量的随机不确定度及测量的系统不确定度。 5、测量的A类标准不确定度来源于随机误差，而 测量的B类标准不确定度来源于系统误差。 讨论 第45页 扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以一个包含因子k得 到（k一般在23范围内选取）。 符号：用符号 U ,Up表示。记为： U = k*uc 或： Up= k*uc 包含因子k的确定： 包含因子k的大小由置信概率p和分布的类型确定。 1）一般测量时，如果没有特殊说明，则按正态分布考虑。 2）重要的测量，或测量次数较小时，k由t分布确定： 包含因子k（t分布时常用符号 t表示）由置信概率 p(或 ）、以及自由度从t分布表查出。 14）扩展不确定度的评定 第46页 自由度的概念 自由度定义为计算总和中独立项的个数，即总和的项数减去其中受 约束的项 研究自由度的意义 自由度的大小直接反映了不确定度的评定质量，自由度并非测量结 果的自由度，而是所评定的标准偏差的自由度，也就是不确定度的 自由度 不确定度的评定质量取决于标准差的可信赖程度，标准差的信赖程 度与自由度关系如下： 上式表明：自由度越大，标准差的相对不确定度越小，标准差愈可 信赖。 第47页 14）扩展不确定度的评定 自由度的计算方法（评定） 情况1）：对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中的n个独立测 量个数减去待求量的个数1，即 。 情况2）：对某量X进行n次独立重复测量，在用贝塞尔公式计算实验 标准差是，需要计算残差平方和中的n个残差 ，因为n个残 差满足一个约束条件 ，即独立残差个数为n-1，即用贝 塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。 情况3）：按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由度，记为 Veff，计算公式为：（常用于B类标准不确定度的评定） 第48页 14）扩展不确定度的评定 当某些不确定度分量的自由度未明确给出时，应对这些 分量的自由度进行分析和评定，对某些先验信息进行分 析后，再 第一种情况： 可确切断定其测值不可能超出半区间a,（例如给出的是最大允 许误差，严格的均匀分布），这时： 实际操作中，B类对应分布律不是非常确认时， 对应自由度取20进行计算. 第49页 14）扩展不确定度的评定 第二种情况：不能完全断定其测值区间不超出某区间a 这时：应根据经验判断其不确定度自身的相对不确定度的大小，也 就是根据经验判断不确定度u之值大约不可靠程度。一般认为10 30，最大为50。 例如： 仪器检定证书给出的不确定度，可认为可靠性达到75，则其不 可靠程度为25，计算出相应自由度为8。 膨胀系数等手册中给出的数据，可假定其可靠性为90，则其不 可靠程度为10，计算出相应自由度为50。 第50页 14）扩展不确定度的评定 合成标准不确定度的自由度： 当各不确定度分量ui的自由度 均已知时，合成标准 不确定度uc的自由度（常称为有效自由度）计算公式为： 第51页 14）扩展不确定度的评定 扩展不确定度的自由度与合成标准不确定度的自由度相同 。 一、测量结果的不确定度的表示（引自GUM) GUM中规定的测量结果的不确定度的表示方式： 1、少数情况下可用合成标准不确定度uc来表示测量结果 的不确定度： 适用范围：a）基础计量学研究 b）基本物理常量测量 c）复现国际单位制的国际比对 2、一般均用扩展不确定度 U或Up来表示测量结果的不确 定度： 除上述指明的3种情况及某些特殊要求情况以外 均用扩展不确定度 U或Up来表示！ 15）测量结果的不确定度表示 第52页 合成标准不确定度u c 表示方式 假设被测量是标称值为 100g 的标准砝码的质量 m s ,其测量的估计值 为 y = 100.02147g ，对应的合成标准不确定度u c= 0.35mg 可用表示方式： 15）测量结果的不确定度表示 1.ms =100.02147g, uc = 0.35mg（或uc = 0.00035g） 。 2.ms =100.02147（35）g, 其中括号中的数是（合成标准不确定度 ）uc 的数值， uc与测量结果的最后位对齐。 3.ms =100.02147（0.00035）g, 括号中的数是（合成标准不确定 度）uc 的数值， 以给出的单位表示。 4.ms =100.021470.00035）g, 其中在号后的数值是（合成标准 不确定度）uc 的数值， 它并非置信区间。（注：其中第4种尽量 不用） 注：在获知自由度的情况下，最好再给出自由度。 第53页 扩展不确定度U 表示方式 假设被测量是标称值为100 g 的标准砝码的质量 m s ,其测量的估计 值为 y = 100.02147g，对应的合成标准不确定度u c= 0.35mg，自由度 V=9。 推荐表示方式 (括号中的文字可省略) ： m s = (100.021470.00079)g ，其中括号后的数值为扩展不确定度U k u c(y)，U是由（合成标准不确定度） u c= 0.35mg和（包含因子）k2.26确定的，k是依据置信概率 p=0.95 和自由度9 由t分布表查得的。 在有些领域，要求对测量不确定度的表达只用相对不确定度Urel或 Uprel给出，例如时钟的不确定度、频率测量的不确定度、压力及电 流的不确定度等。这时也应注明置信概率和自由度。 15）测量结果的不确定度表示 第54页 使用扩展不确定度时的简化表示形式 （1）使用U: 1. ms=100.02147g,U=0.70mg; k=2。 2. ms=(100.021470.0007)g; k=2。 （2）使用Up: 1. ms=100.02147g,U95=0.79mg;eff=9。 2. ms=(100.021470.00079)g; eff=9 ,括号内第二项 为U95之值。 3. ms=100.02147（79）g; eff=9 ,括号内为U95之值 ，其末位与前面结果内末位数对齐。 4. ms=100.02147（0.00079）g; eff=9 ,括号内为U95 之值，与前面结果有相同计量单位。 15）测量结果的不确定度表示 第55页 16）测量数据处理的完整步骤 第56页 16）测量数据处理的完整步骤 第57页 例题： 普通物理实验中：用数字电压表测直流电压源的电压 值(电压表的最大允许误差为0.000002V),得： 10.000107, 10.000