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4-5 紧束缚近似-原子轨道线性组合法 紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受到该 原子场的作用，把其他原子场的作用看成是微扰。 一、模型与微扰计算 完全不考虑原子之间的相互影响，考虑简单晶格，每个元胞中 只有一个原子，其格矢为： ，其附近的电子将以原子束缚态 的形式环绕 点运动。 孤立原子某本征态的波动方程为； （1） 晶体中电子运动的波动方程为： 为处于 格点的单原子势场； 表示整个晶体中的周期性 势场。把方程（1）看成零级近似所满足是方程， 看成微 扰项，因此电子在N个不同的原子附近有N个类似（1）的方程，它们 具有相同的能量，即出现N重简并。类似简并微扰方法，将共有 化运动的轨道表示成原子轨道的线性组合（LCAO）： ，代入晶体中共有化波动方程并利用原子轨道的正交归一性有： 作变量代换： 注意到晶格势场的周期性有： 于是有； 注意到该方程组是系数是以 为变量的函数，因此可以令方程组 的解具有：，代入上述方程组得到； 该能量表达式和m、n无关，表明其为上述波函数对应的能量本征值， 即对于一个确定的 ，在周期场中的本征函数和能量本征值为： 考察积分： 中两相距 的两格点上的波函数，显然只有两波函数存在一定重叠时 ，积分才不等于零。重叠最完全的是 项，计为 其次为次近邻的格矢量上的波函数，因此： 上式在每一个 对应一个能量本征值，N个不同的 值将使原来一个 扩展成由N个 构成的准连续的能带。 二、 原子能级和能带的对应 1、在晶体中每个原子能级扩展成一个能带，同前面近自由电子近似 的结论类似，愈低的能带愈窄，愈高的能带愈宽。这是由于能量最低 的带对应于最内层的电子，它们的电子轨道很小，在不同原子间很少 相互重叠，因此能带较窄。能量较高的外层电子轨道，在不同原子间 将有较多的重叠，从而形成较宽的能带。 2、有时原子能级和能带之间不存在上述一一对应的关系。在前面的 讨论中只考虑了不同格点（原子）相同原子态之间的相互作用二忽略 了不同原子态之间的相互作用。而在形成晶体的过程中，不同原子态 之间可能相互混合。只有不同能级间的能量差远大于微扰作用才近似 成立。通常可以用能带宽度反映微扰作用的大小能带宽度反映微扰作用的大小。对于低能级，能带 宽度较小，表明微扰作用较小，能级和能带之间存在一一对应关系； 对于外层电子，能带较宽，表明微扰作用较大，能级和能带之间的关 系比较复杂。 3、如果是复式格子，能带之间会交叠在一起。 4-
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