2013高中数学竞赛试题精选.doc

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莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿袈膈芄薁螄膈莆螇蚀膇蕿薀肈膆芈袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃螆膃薅蚆肅节芅葿羁节莇蚅袇芁蒀蒇螃芀艿蚃蝿艿莂薆肈芈蒄螁羃芇薆薄衿芆芆蝿螅莆莈薂肄莅蒁螈羀莄薃薁羆莃莂螆袂羀蒅虿螈罿薇袄肇羈芇蚇羃羇荿袃衿肆蒁蚅螅肅薄蒈肃肄芃蚄聿肄蒆蒇羅肃薈螂袁肂芈薅螇肁莀螀肆肀蒂薃羂腿薅蝿 2013 高中数学竞赛试题精选 O1是底面A1B1C1D1的中心，已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体，M是棱BB1上的点，且SDBM:SO1B1M=2:3，则四面体O1ADM的体积为 748 （江苏2007夏令营） 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C90 ）圆锥曲线x+y+6x-2y+10-|x-y+3|=0的离心率是222.斜三棱柱ABC-A1B1C1中，面AA1C1C是菱形，ACC1=60，侧面ABB1A1AA1C1C，A1B=AB=AC=1.求证：（1）AA1BC1；（2）求点A1到平面ABC的距离.满足y= 5x+3+x+2007的正整数数对（x，y）恰有两对设集合M=-2，0，1，N=1，2，3，4，5，映射f：MN使对任意的xM，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（ 100 ）个 设a1=6，an+1=54an+34an-2(nN)，其中x表示不超过x的最大整数。则n-12+a1+a2+a2007的个位数字为（ 2 ）an=52+1设a1，a2，a2007均为正实数，且12+a1+12+a2+12+a2007=12，则a1a2a2007的最小值是 。40122007将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a2b+10>0成立的事件发生的概率等于（6181 ）设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1对任意实数x恒成立，则于 1 bcosca的值等. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的1个字母，n设an=k(n+1-k)，求证：当正整数n2时，an+1<an(07全国) k=11数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的这样的九位数共有432 个一个三角形的最短边长度是1，三个角的正切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为355正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8，则这个正三棱锥的体积的最大值为144对每一个正整数k，设ak=1+12+L1k，则(3a1+5a2+7a3+L+99a49)-2500a49=1225集合S=1,2,3,4,5,6,7的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是（ 84 ） （07福建）已知f(x)=sin2x+2sinx，g(x)=3x+试求m的最大值3214x，若对任意x1,x2(0,+)恒有f(x1)g(x2)+m， （07吉林） D251/32（07陕西） 3 8/15 3若实数x,y满足：2x10+53+y210+63=1,x310+53+y310+63=1，则x+y=210+310+5+633抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则MOMF过直线l： y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1(-3,0),F2(3,0)，则椭圆22的方程x+y=14536数列an满足：a1=12,an+1=nan(n+1)(nan+1)；令xk=a1+a2+L+ak,nyk=1a1+1a2+L+1ak,k=1,2,L；求xk=1kyk=n(n+1)(3n+11n+4)2 3615、若四位数n=abcd的各位数码a,b,c,d中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数9+304+984+384=1681 方程(x+1)(x-4)+(x+2)(5-x)=6的实数解的个数为 0x+a+y+b)，若x+y的最大值为40，已知a,b为正整数，ab，实数x,y满足x+y=4(则满足条件的数对(a,b)的数目为 56过四面体ABCD的顶点D作半径为1的球，该球与四面体ABCD的外接球相切于点D，且与平面ABC相切。若AD=BAD=CAD=45,BAC=60，则四面体ABCD的外接球的半径r为 3设集合A=a1,a2,a3,a4,a5,B=a1,a2,a3,a4,a522222，其中a,a12,a3,a4,a5是五个不同的正整数，a1a2a3a4a5,AIB=a1,a4,a1+a4=10，若AUB中所有元素的和为246，则满足条件的集合A的个数为 2已知数列an(n0)满足a0=0,a1=1，对于所有正整数n，有an+1=2an+2007an-1，求使得2008an成立的最小正整数n。（2008）07天津 在(2+x)2n+1的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为（12(32n+1+1) ）在1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1a2,a3a2,a3a4,a5a4的排列个数是（16 ）在三角形ABC中，已知三个内角A、B、C成等差数列，设他们所对的边分别是a、b、c，并且c-a等于AC边上的高h，则sinC-A22=122 斜率为1的直线与椭圆x+y42=1交于A、B两点，P为线段AB上的点，且APPB=2. 则P点的轨迹方程是_4x+y=235-(y-x)(y-x)一枚均匀的硬币掷十次，没有连续出现正面向上的概率是_a、b、c为正实数，试证明：2964c2 3aa+9bc+bb+9ca2+ c+9ab设f(x,y,z)=sin2(x-y)+sin2(y-z)+sin2(z-x)，x,y,zR，求f(x,y,z)的最大值94（07浙江） 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