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文档简介

例5 计算 解 对面积的曲面积分的应用 面积 质量 重心 转动惯量 例6 求均匀曲面的重心坐标 解 由对称性 故 重心坐标为 例7 解 例9 计算 解 由奇偶对称性 上半球面 下半球面 10.5 对坐标的曲面积分 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 有向曲面的投影问题: 类似地可定义 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. 1. 分割 则该点流速为 法向量为 . 把曲面把曲面 分成分成n n小块小块 s s i i ( (同时也代表第同时也代表第i i小块曲小块曲 面的面积面的面积), ), 在上任取一点在上任取一点( ( i i , , i i , , i i ) ) , , 2. 求和 3.取极限 3.取极限 三、概念及性质 积分曲面 被积函数有向面积元 类似可定义 存在条件: 组合形式: 物理意义: 性质: 由定义可知对坐标的曲面积分具有与 对坐标的曲线积分相类似的性质 1。 可加性 2 。 反向性 四、对坐标的曲面积分的计算法 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 对坐标的曲面积分化成二重积分的计算步骤 1）将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数 2）将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面） 3） 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号 注 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加 确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负 例1 计算 所截得的在第一卦限的部分的前侧 解 原式= 解 例2 五、两类曲面积分之间的联系 两类曲面积分之间的联系 例3 解 练习 计算 平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧 o x y z 解 分成四个部分 左侧 下侧 后侧 上侧 同理 同理 小结1、物理意义 2、计算时应注意曲面的侧 练习 计算 ， 其中 ： 被平面x+z=2 及 z=0截解
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