数学分析第十六章多元函数的极限与连续.ppt

多元函数微积分 多元函数的极限与连续 多元函数微分学 隐函数定理及其应用 含参量积分 曲线积分 重积分 曲面积分 第16章 多元函数的极限与连续 1 平面点集与多元函数 （了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概 念 ） 一、 平面点集 坐标平面 平面点集 E=(x,y)|(x,y)满足的条件 邻域 U(A,)=(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2 累次极限存在? 重极限存在 = 次极限存在且相等? 作业： P99: 1(5)(7),2(4)(5) 小结： 1、掌握二元函数极限和累次极限的概念； 2、了解有关定理和推论； 3、掌握重极限和累次极限的求法（含不存在）。 3 二元函数的连续性 一、 二元函数的连续性概念 定义 设为定义在 (它或者是的聚点，或者是的孤立点).对于 上的二元函数， 只要时，就有 则称关于集合连续.在点在点简称连续. 若在上任何点关于集合连续,则称为 连续函数. 上的 若为的孤立点，则必为关于的连续点。 若的聚点，则关于为在连续等价于 特别地,当左边极限存在但不等于 的可去间断点. 时，为 一般地,当 的连续性.若上式不成立(其含义与一元函数的对应 为 情形相同)，则称为的不连续点(或间断点). 的聚点时，就用上式判断在该点的 如上节例1给出的函数在原点连续；事实上， 注：若一元函数在某点连续，将它看作二元函数，则 在相应点仍连续。 类似地，例2给出的函数也在原点连续（P94）。 例3、4给出的函数在原点不连续。 若把例3给出的函数改为 则它沿直线 在原点连续。 设则称 为在点的全增量。 可用增量形式描述关于在的连续性： 若在全增量中取或则相应的函数增量称为 偏增量，记为 注意：偏增量的和不一定等于全增量。 容易证明：若二元函数在某内点连续，则对单个自变量 都在该点连续。但是反过来，二元函数在某内点对单个 自变量都连续，并不能保证该函数的连续性。例如， 若 的一元函数在 时则表示当作为 连续。同理,若 则表示在连续。 定理16.7(复合函数的连续性定理) 设函数 在的某邻域内有定义，平面上点 则复合函数 和 连续；函数并在点在平面上点 的某邻域内有定义,并在点连续,其中 也连续。在点 若二元函数在一点连续，则与一元函数一样，可以证明 它在这点近旁具有局部有界性、局部保号性以及有理运 算的各个法则。下面仅证明二元复合函数的连续性定理 . 练习:说明下列函数的连续性 二、 有界闭域上连续函数的性质 本段讨论有界闭域上多元连续函数的性质。它们可以 看作是闭区间上一元连续函数性质的推广。 定理16.8(有界性与最大、最小值定理) 若函数 上连续，则有界闭域 最大值与最小值。 在 在上有界，且能取得 定理16.9(一致连续性定理) 若函数 上连续，则 在有界闭域 在上一致连续。即对 只要就有 实际上，定理16.8与16.9中的有界闭域可改为有界闭 集(证明过程无原则性变化)。定理16.10中的有界闭域 (它保证连通性)不可改为有界闭集(开集、闭集不一定 具有连通性)。此外，定理16.10中的连续函数的值域 必定是一个区间。 的实数 定理16.10(介值定理) 设函数 上连续，若 在有界闭域 为 中任意两点，且 则对任何满足不等式 使得必存在点 2、考察下列函数的连续性： 作业: P105: 1(1)(3)(5), 3. 那么它在 练习： 1、若函数 上具有哪些性质？ 小结： 1、掌握二元函数的连续性概念 ； 2、了解有界闭域上连续函数的性质。 “Ch16二元函数的连续性与极限” 习题课 一、 基本内容和要求 1、了解平面点集的有关概念，了解平面上的完备 性定理，了解多元函数的概念。 2、理解二元函数的极限和累次极限的概念，并会 计算，知道它们之间的联系。 3、了解二元函数的连续性概念和有界闭域上连续 函数的性质。 二、 作业问题 P92, 3,5. P99, 1(5)(7)，2(4). P104, 1(3).