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第七章 函数的(定)积分 20081215 7.1 定积分的概念 a bx y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、问题的提出 a bx y o a bx y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 可以看出，小矩形越多，矩形总面积越 接近曲边梯形面积 （四个小矩形）（九个小矩形） 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 （1）分割 部分路程值某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 二、定积分的定义 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意： 三、简单性质 证 （可推广到有限多个函数的情况） 性质1 证 性质2 性质3 性质4 解令 不计算定积分比较积分大小 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 的负值 四、几何意义 几何意义： 定理1 定理2 五、可积定理 六、求简单函数积分 例2 利用定义计算定积分 解 例3 利用定义计算定积分 解 证明利用对数的性质得 极限运算与对数运算换序得 故 七、小结 定积分的实质：特殊和式的极限 定积分的思想和方法： 分割化整为零 求和积零为整 取极限精确值定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 思考题 将和式极限： 表示成定积分. 作业 (数学分析习题集) 习题6.1 定积分概念 A 4、2), 3), 4); 5、2); 6、3); 7、3); 8、1
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