静电场边值问题的唯一性定理.ppt

静电场边值问题的 唯一性定理 n典型的静电问题 n给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解 静电场的 边值问题 泛 定 方 程 唯一性定理 n边界条件可将空间里电场的分布唯一地 确定下来 n即给定边界条件后，不可能存在不同的 静电场分布 n该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电 问题的正确解释至关重要 n理论证明在电动力学中给出，p59 给出 物理上的论证 几个引理 n引理一 n在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极 小值 n证明（反证）若有极大，则 极大 极小 n若有极小，同样证明 n引理二 n若所有导体的电势为0， 则导体以外空间的电势处 处为0 即意味着空间 电势有极大值 ，违背引理一 n证明（反证） 在无电荷空间里电势分布 连续变化，若空间有电势大 于0（或小于0）的点，而边 界上电势又处处等于零 必出现极大值或极小值 n推广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电 势都相等（设为U0），则空间电势等于常量U0 引理三 n若所有导体都不带电，则各导 体的电势都相等 n证明（反证） n若不相等，必有一个最高，如 图设U1U2、U3，导体1是 电场线的起点其表面只有 正电荷导体1上的总电量不 为0与前提矛盾 n引理二 ( )引理三推论：所有导体都不带电的情 况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量 叠加原理 n在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件： n1：给定每个导体的电势Uk（或总电量Qk） n2：给定每个导体的电势Uk（或总电量Qk) n设U、 U满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a U+b U必满足条件3: n3:给定每个导体的电势Uk=a Uk+b U k （或总电量Qk= Qk a k+b Q k） n特例 ： 取Uk U k，则U=UU(a=1,b=-1)满足 n4：给定每个导体的电势为0 唯一性定理 n给定每个导体电势的情形 与电势 参考点 有关 n给定每个导体上总电量的情形 n 第k个导体上的电量 电量与场 强、电势 的关系 解释静电屏蔽 n唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。 n图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布 电像法解静电问题的一种特殊方法 n在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布 n基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解 像电荷 真空中有一半径为R的接地导体球，距球心 为a(aR)处有一点电荷Q,求空间各点电势 n寻找像电荷 n对称性分析，确定像 电荷位置 n使球面上电势0 n任取 P点，利用叠加 原理求出像电荷位置 对所有都成立，即要求 求p点电势 讨论：由Gaoss定理收敛于球面上的电通量为Q，Q=球 面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场吸引从接地处 传至导体球上，|Q|Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于 导体球，剩下的伸展至无穷 电偶极层 n设想一厚度均匀的曲 面薄壳，两面带有符 号相反的面电荷 电偶极层，如图 ，求P点的电势和场 强 面元dS在垂直 于矢径r方向 的投影 n定义电偶极层强度：单位面积上的 电偶极矩 P点的电场强度 n电偶极层的电势和场强只与对场点 所张的立体角有关 n几何上决定，电偶极层两侧立体角 有的跃变 n负电荷一侧： 曲面S对场点 P所张的立