物理奥赛：力学机械振动与机械波.ppt

第七专题 机械振动与机械波 解题知识与方法研究 疑难题解答研究 例1、质点运动中的部分运动 属于谐振动的问题. 例2、非惯性系中的简谐振动 问题 一、简谐振动的三种等价定义 （对线量、角量均适用） 三、非简谐的周期振动 四、一般情况（含纵、横向）的 多普勒效应 二、简谐振动的势能计算 解题知识与方法研究 一、简谐振动的三种等价定义（对线量、角量均适用） 1、谐振动的运动学定义 2、谐振动的动力学定义 式中，称为振动系统的振动系数(不一定等于劲度系数) . 振动系统不仅应总能量守恒，且势能可表示为 注意： 3、谐振动的机械能定义 请自行证明三种定义等价性！ 例1 悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳，绳长均为l，下面挂一质量为M的 光滑匀质薄平板. 平板中央有一质量为m的光滑小木块. 开始时系统处于静止悬挂状态， 两绳互相平行，如图. 而后在两绳平面内给平板一个小的水平扰动，使其获得水平速度 v0，此板即作小角度摆动. 求小摆动的周期. 解取平衡位置为零势能位置.系统各物运动如图. 系统动能为 m与M具有相同的向上运动速度, 即 系统势能为 系统的总机械能 于是 因其符合谐振动能量的表达式, 且守恒. 故题述的 振动为谐振动. 题后思考 能否用谐振动的其他定义证明题中的振动为谐振动. 其周期为 二、简谐振动能量的计算 2-1、动能计算： 2-2、势能计算： 方法一（各种势能统一计算）： 方法二（各种势能分别计算）： 重力势能的零势能位置是可任选的（弹性势能不任选）. 注意：方法一中： 两种方法计算势能结果可能不相等! 你如何计算图(c)中系统的势能？ k不一定是弹簧的劲度系数. x不一定是弹簧的伸长. 零势能位置即平衡位置. 方法二中： ki是弹簧的劲度系数. Li是弹簧的伸长. 例如 在右图（c）中, 计算系统的势能. 按方法一计算： 按方法二计算： （1）若取小球的平衡位置为零重力势能位 置, 弹簧处于自然伸长为零弹性势能位置. 得知 （2）若弹性势能、重力势能零位置均取小 球的平衡位置. 得知 则 平衡位置 任意位置弹簧未拉长 则 4-3、总机械能（势能按方法一计算）： 要使按第二种方法计算结果与第一种相等，须将 所有势能的零势能位置均取在振动系统的平衡位置. 即 注 意 在谐振动的机械能定义中，势能的计算方式不可随意！ 三、非简谐的周期振动 也存在大量不满足谐振动定义式： （1）非小角度的摆（复摆、单摆）是非简谐的周 期振动； 例如： （3）直线运动的质点受力为 则质点的运动也为非简谐的周期振动. （2）行星在太阳引力下的椭圆轨道运动在长轴和 短轴方向的分运动也是非简谐的周期振动. 的周期振动. 例2 在光滑的水平面上有两根质量可忽略的相同的弹簧，它们的一个端点连接着同 一个光滑小物体，另外两个端点A1，A2被固定在该水平面上，并恰好使两弹簧处于自由 长度且在同一直线上，若小物体在光滑水平面上沿着垂直于A1、A2连线的方向受扰动稍 稍偏离初始位置，试分析小物体是否能做简谐振动. 解 小物体的运动、受力、位置情况如图. 当小物体有小偏移量x时， 受到的恢复力为 四、一般情况下（含纵、横向）的多普勒效应计算 1、纵向多普勒效应计算（波源、观察者在波线上相对介质运动） 波源S静止，观察者O运动 波源S运动，观察者O静止 何谓横向？ 2、横向（无）多普勒效应： 波源的速度（发出某波的瞬时）、观察者（接受该波的瞬间）的速度均垂直某波线 方向. 图1 图2 图3 图4 横向的理解： 下面四种情况会不会出现横向多普勒效应？ 3、一般情况下（含纵、横向）的多普勒效应计算 如图. 观察者O在t2时刻于A2处收到波源S于 之前的t1时刻在B1处发出的波. 观察者O在t2时刻于A2处收到波源S发 出的波时波源已运动到B2处. 速度分量vO、 vS不影响观察者收到的频率. 速度分量vO、 vS使观察者收到的频率变为 注 意 S发出某波和O收到 该波的异时异地性； 例3 两辆汽车A与B，在t =0时在十字路口 分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀 速前进，如图所示. 汽车A持续地以固定的频率 f0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所监测到的 笛声频率f . 已知声速为u，且当然有u vA 、vB. 解 如图， 由几何关系可知 即 以t1为变量，解方程得 B车在(b,t)收到A车在(a1,t1)发出的笛声. 如图，有 于是 将 代入 ，再将 代入多普勒效应公式 得 题后总结 该题考的是知识水平； 对数学应用有较高要求. 例1 一个大容器中装有互不相容的两种液体，它们的密度分别为1和 2 （1 2 ）. 现让一长为L、密度为 = (1 +2)/2的均匀 木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离 两液体界面的距离为3L/4，由静止开始下落. 试计算木棍到达最低处所需的时间. 假定由 于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液 体内部运动，既未露出液面，也未与容器底部相碰. 解 当木棍全处在上层液体中时，将如何运动？ 当木棍全处在下层液体中时，将如何运动？ 当木棍经过两层液体分界线时，将如何运动？ （1）如图，在上层液体中匀加速运动. 设木棍横截面积为S，长度为L. 疑难题解答研究 木棍运动如图 由 得 （2）如图，当木棍经过两层液体分界面时. 设棍 在下面液体中的长度为L时，棍所受合力为零.则有 即 得到 所以当棍的质心C（即中心）到分界面时，为其平衡位 置. 如图，建立坐标.当棍质心坐标为x（|x|L/2）时， 棍受力为 木棍通过分界面时的 运动是什么运动？ 棍通过分解面时的运动是某振动区间为(A -A)的谐 振动的在(L/2 -L/2)之间的一部分. 如何求这一段运动的时间？ 该谐振动的角频率 该振动的振幅 棍下端抵达液体分界面时（开始进入振动状态）的速度 在旋转矢量图中，木棍的部分振动对应于矢量 从P1点转到P2点. 可知 （3）木棍在下层液体中匀减速运动. 其运动过程与在上层液体中情况是对称的. 所用时间为 题后总结与思考 运动为部分谐振动是很重要的运动情况. 试通过解谐振动运动的三角方程求时间 所以棍通过界面的时间为 综上可知木棍运动的总时间为 例2 如图所示，放在水平地面上高1cm的三角形支架上一固定的水平横杆，横杆下 用细线悬挂一个小球A，A通过一根轻弹簧与另一相同的小球B相连，B静止不动时，弹 簧伸长l0=3.0cm，今将悬挂球A的细线烧断，A、B便与弹簧一起往下运动，假设B触及 地面上的橡皮泥前的瞬时，弹簧的伸长量也正好是3.0cm，而后B即与橡皮泥发生完全非 弹性碰撞. 考虑到A球将会继续朝下运动，试求弹簧相对其自由长度的最大压缩量l=？ 解 设两球的质量各为m. 所以弹簧的劲度为 烧断线后质心C（始终为弹簧中点）作自由落体运动. A、B球相对质心参照系作仅受半根弹簧弹力作用的谐振动. 对应的劲度为 静止时有 烧断线后两球如何运动？ 振动的周期为 题设B球触地前的瞬间弹簧的伸长量又成为起初时的 3.0cm, 表明系统恰好完成了若干个全振动. 质心C下落的距离为 可算得 所以质心C实际下落的距离仅为h1（系统仅完成一个全振动）. 在B球触