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* 1 1 第第12.312.3节节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质. 二、对坐标的曲面积分的计算方法. 三、两类曲面积分之间的关系. * 2 2 复习复习 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 y x o z S 二、 对面积的曲面积分的计算法 * 3 3 一.对坐标的曲面积分的概念与性质 曲面的侧: 通过曲面上法向量的指向, （上侧） 有向曲面: 取定了法向量 设是有向曲面, 在上取小曲面 在面上投影区域的面积为 类似可定义在面 定出曲面的侧. 或选定了侧的曲面。 （下侧） 设在面上的投影为 规定 为上各点处法向量与 轴正向之夹角， 面 及 且有相同的符号。 上的投影 * 4 4 引例 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由 给出,是速度场中一片有 向曲面, 斜柱体体积为: 流量： 求在单位在函数上连续, 时间内流向 指定侧的流体的质量, 即流量 且流速为常向量 的一个闭区域, （1）若流体流过平面上面积为 流向曲面一侧的流量. 单位时间内流过这 闭区域的流体组成一个底面积为 斜高为的斜柱体， * 5 5 （2）为曲面,为变量.流速 * 6 6 定义 任取点作乘积 记若极限 存在, 记作 即 类似, 在有向光滑曲面上有界。设函数任意分割将 小块成也表其面积）。（面上投影为在 并作和式 则称此极限值为函数在有 向曲面上对坐标的曲面积分. * 7 7 注:1. 坐标的曲面积分 3. 则 4. 5. 对 （也称第二类曲面积分）存在. 2. 如果 记作 则 在有向曲面上连续时,当 为分片光滑有向曲面,若 为封闭曲面, 若 表示与相反侧的曲面,用 * 8 8 二.对坐标的曲面积分的计算方法 区域为在 上连续.则 上侧取正, 类似, 前侧取正, 右侧取正, 定理由方程 给出, 设有向曲面 在面上的投影 在上有一阶连续偏导, 下侧取负. 后侧取负. 左侧取负. * 9 9 外侧, 解 取上侧; 取下侧; 取前侧; 取后侧; 取右侧; 取左侧.同理, 例1. 计算是长方体的整个表面的 分成六部分:将有向曲面 原式 * 1010 例2. 计算其中是球面外侧在 解 取上侧; 取下侧. 的部分. 画草图. * 1111 例3.计算 其中为锥面 及平面所围区域的边界曲面的外侧. 解取上侧; 取外侧. （由对称性） * 1212 * 1313 三.两类曲面积分之间的关系 设有向曲面 上法向量的方向余弦为： 若取上侧， 若取下侧， * 1414 例4. 计算 取下侧。 （由对称性） 解 * 1515 * 1616 例5. 其中为连续函数,是平面在第四卦限部分 解 原式 上
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