数学选修2-3计数原理.ppt

荷兰馆 1.2分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 （二） 1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种 不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法.那 么 完成这件事共有N= m1+m2+ + mn种不同的方法. 2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有N= m1m2 mn种不同的方法. 复习回顾 分类计数原理分步计数原理 完成一件事，共有n类 办法，关键词“分类” 区别1 完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步” 区别2 区别3 每类办法都能独立地 完成这件事情， 任何一步都不能独立完成 这件事，只有各个步骤都 完成了，才能完成这件事 。 各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。 分类法：相互独立，直达目的； 分步法：相互依存，分步到达。 联系回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 1.在下面三个图中，使电路接通的不同方法各 有多少种？ （1）（2） 基础练习： 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N = 3 + 6= 9 条不同的线路可通电。 解: 从总体上看电路接通可分二类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 23=6 条 小结计数原理 1.分类类类相加(把做一件事的方法分类) 2.分布步步相乘(把做一件事分几步来进行) 这是我们考虑计数问题的两种思想方法。 具体运用时，要弄清是分类，还是分步。既有分 类又有分步的问题，先分类后分步。 例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限 报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺 这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少 种？ 解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为44444= 种 . （2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种 故有n=5= 种 . 例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19 ，问最多可以给多少个程序命名？ 分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤： 第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步 ，选末位字符。 解：首字符共有7+613种不同的选法， 答：最多可以给1053个程序命名。 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有 13991053种不同的选法 例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？ U U U A A A C C C G G G 分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C 、G、U中任选一个来占据。 第1位第2位第3位第100位 4种4种4种4种 解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U 中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有 种不同的RNA分子. 例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计 算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位，每个字节由个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉 字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多 少个字节表示？ 第1位第2位第3位第8位 2种2种2种2种 如00000000，10000000 ， 11111111. 开始 子模块1 18条执行路径 子模块3 28条执行路径 子模块2 45条执行路径 子模块5 43条执行路径 子模块4 38条执行路径 结束 A 例5.计算机编程人员在编 写好程序以后要对程序进 行测试。程序员需要知道 到底有多少条执行路（即 程序从开始到结束的线） ，以便知道需要提供多少 个测试数据。一般的，一 个程序模块又许多子模块 组 成，它的一个具有许多执 行路径的程序模块。问： 这个程序模块有多少条执 行路径？另外为了减少测 试时间，程序员需要设法 减少测试次数，你能帮助 程序员设计一个测试方式 ， 以减少测试次数吗？ 开始 子模块1 18条执行路径 子模块3 28条执行路径 子模块2 45条执行路径 子模块5 43条执行路径 子模块4 38条执行路径 结束 A 分析：整个模块的任 意一条路径都分两步 完成：第1步是从开 始执行到A点；第2步 是从A点执行到结束 。而第步可由子模块 1或子模块2或子模块 3来完成；第二步可 由子模块4或子模块5 来完成。因此，分析 一条指令在整个模块 的执行路径需要用到 两个计数原理。 开始 子模块1 18条执行路径 子模块3 28条执行路径 子模块2 45条执行路径 子模块5 43条执行路径 子模块4 38条执行路径 结束 A 再测试各个模块之间的信 息交流是否正常，需要测 试的次数为：3*2=6。 如果每个子模块都正常工 作，并且各个子模块之间 的信息交流也正常，那么 整个程序模块就正常。 这样，测试整个模块的次数就变为 172+6=178（次） 2）在实际测试中，程序 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱，即通过只考 察是否执行了正确的子模 块的方式来测试整个模块 。这样，他可以先分别单 独测试5个模块，以考察 每个子模块的工作是否正 常。总共需要的测试次数 为： 18+45+28+38+43=172。 例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽 车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法， 每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字 母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母 必须合成一组出现，个数字也必须合成一组 出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照 ? （3）某艺术组艺术组 有9人，每人至少会钢钢琴和小号 中的一种乐乐器，其中7人会钢钢琴，3人会小号， 从中选选出会钢钢琴与会小号的各1人，有_ 种不同的选选法. 20 巩固练习练习 : （1）课课本P10第1-3题题 （2）将三封信投到四个邮邮筒，有_种投 法；三个人争夺夺四个不同体育项项目的冠军军，则则 冠军军的不同分配方法有_种. 64 81 （4）乘积 展开后共有几项？ （5）某商场有6个门，如果某人从其中的任意一 个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有 多少种不同的进出商场的方式？ 课堂小节 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是 开始计算之前要进行分析需要分类还是分步. 分类要做到