数学教师的“三项基本功”.ppt

数学教师的“三项基本功” 郑毓信 （2012） 简介 1965年毕业于江苏师范学院数学系；曾 在中学长期任教；现为南京大学哲学系 教授、博士生导师。1992年起享受政府 特殊津贴。 主要研究领域：数学哲学；科学哲学； 数学教育与科学教育。 已出版著作28部，发表论文300多篇。 背景：课改十年的必要总结与反思 聚焦教学观摩：“外行看热闹， 内行看窍门。” 更为一般的结论：“立足专业成 长，关注基本问题。”（2010） 进一步的思考：一线教师如何实 现自己的专业成长？ 问题的细化 数学教师是否应当具有自己特殊 的基本功？ 数学教师的三项基本功： （1）善于举例； （2）善于提问； （3）善于比较与优化。 一些具体工作 郑毓信，“数学教师的三项基本 功”，人民教育，2008年第 18、19、20期连载，并已被收入 “人民教育创刊60周年系列 丛书”。 郑毓信，数学教师的三项基本 功，江苏教育出版社，2011 基本定位 “三项基本功”集中地反映了数学与数 学教学（教育）的特殊性。 “三项基本功”并非单纯的技能，而是 专业能力的集中表现；特别是，就 只有联系深层次的教学思想和教育 思想我们才能真正理解它们的内涵 和意义。 我们并应依据自己的个性特征创造 性地加以应用。 一、“善于举例”与数学教学 从“什么是数学”谈起？ 一个基本论点：“数学：模式的 科学”（mathematics：the science of patterns） 数学所反映的不是某一特定事物 或现象的量性特征，而是一类事 物或现象在量的方面的共同性质 。 进一步的分析 数学基本特性：抽象性。 “善于举例”的两个具体涵义： （1）如何能为抽象的数学概念举 出适当的实例？ （2）如何能够帮助学生由具体实 例抽象出相应的数学概念？ 插入：学习心理学研究的相关结论 “概念定义”与“概念意象”的必要 区分。 概念意象的多元性：它“由所有 的相关实例、反例、事实和关系 组成。”（维纳与赫什科威兹， 1980） （1）什么是“适当的例子”？ 标准之一：相对于学生的可接受 性； 标准之二：典型性，即是能为相 应的数学抽象提供必要的基础。 这方面的一个基本事实：举例并 非一件易事。 例1 “范例教学法”（R. Davis) 为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数 的运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装 有豆子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。 教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上 记下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出 10棵豆子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这 样一个算式。 教师接着提问：（1） 现在口袋里的豆子与一 开始相比是变多还是变少了？（2） 少了多少 ？ 相关的分析 这些实物和动作对于学生来说都是十分 熟悉的。 好的“认知基础”并应具有这样的性质：它 能“自动地”指明相关概念的基本性质或相 关的运算法则。这就是指，借助于这一 实例学生可以顺利地作出相应的发现。 如学生在此显然就可借助所说的实例顺 利地实行 4 - 10、5 8等运算，而无须 依赖于对相应法则的机械记忆。 例2 “植树问题”的教学 如何看待“植树问题”的教学？特别是 ，这一问题所发挥的究竟是案例的 作用，还是其本身就体现了一些十 分重要的规律？ 我们在教学中应当更加关注如何能 以“植树问题”为背景抽象出普遍的数 学模式：“分隔问题”。 （2）如何帮助学生由实例抽象出相 应的数学概念？ 关键之一：去情境； 教学辩证性与艺术性：范例的作 用与必要的抽象； 相关理论：“变式理论”（“概念变 式”）。 核心思想：如何通过适当的变化 与比较帮助学生掌握概念的本质 。 “概念变式”的主要内容： （1）“标准变式”与“非标准变式”： 教学中不应局限于平时经常用到 的一些实例，而应有意识地引入 一些“非标准变式”，从而就可防 止学生将相关实例的一些非本质 特性误认为概念的本质特性。 （2）“概念变式”与 “非概念变式” ： “非概念变式”大致地就相当于“反 例”，这也就是指，除去“正例”以 外，我们在教学中还应给出若干 “反例”，这样通过对照就可帮助 学生更好掌握概念的本质。 例 “认识分数” 引入：“分蛋糕”。教师并通过简 短讨论引出了这样一个结论：“ 将一个蛋糕平均分成两份，每份 是它的1/2。” 问题：如何以“变式理论”（概念 变式）为指导设计教学从而帮助 学生较好掌握分数的本质？ （1） 分割的对象显然未必一定要是蛋糕 ，也可以是纸片或别的什么东西；对于 分割对象的外形我们也不应作任何限制 ：它们既可以是圆形，也可是方形或任 何其它形状。 （2）对分割方法也可作出一定变化。如就 长方形纸片的分割而言，可以横着折， 也可以竖着折，还可钭着折；另外，除 去各个“正例”以外，我们也应引入一定的 “反例”，如按照中位线分割的梯形等 （3）作为进一步的抽象，我们又应由 1/2逐步扩展到1/3，1/4，乃至 2/3，3/4，。从而，如果仍然集 中于“将一个蛋糕平均分成两份，每 份是它的1/2”这一论述，我们就可以 说，除去分割的对象与方法以外， 我们也应对“平均分成两份”中的“两 份”以及所说的“每份”作出适当变化 。 （4）这事实上也可被看成“非标准变式”的 一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋 糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕 容易看出，这一变化事实上也就意 味着我们已经将分析的着眼点由“（平均 ）分配”这一实际活动转移到了部分与整 体之间的关系，后者并就意味着对于分 数本质更为深入的认识。 回顾：如何帮助学生由具体实例抽 象出相应的数学概念？ 关键：通过适当的变化与比较帮 助学生掌握相关概念的本质。 新的重要发展：由“变式理论”到“多 元表征理论” 传统的研究：主要集中于如何帮 助学生很好地掌握概念的本质（ 单一性）。 新的认识：更加强调概念内在表 征（概念意象）的多元性，以及 各方面的必要互补与思维的灵活 性 一些相关的提法 布鲁纳（1964）的三种意象形式 ：动作的、图像的，和符号的； Lesh & Laudan（1983）的“五 个维度”：实物操作，图像，日 常语言，符号语言、现实情景。 相应的结论 我们既应高度重视由实例向概念 严格定义的必要过渡，又应适当 地“淡化形式”，高度重视认识活 动的复杂性（多元性）与整合性 。 具体的教学建议 （1）形象化的描述与严格定义的必要 互补。 除去实际操作与情境设置以外，教 学中还应十分重视“概念的形象化（ 视觉化）”，如比喻和手势的适当应 用，适当的图象表示，等等。 关于“方程”的三个比喻：天平，架桥 ，网。 相关的论述 “教师用手势说明自己的表征；或者 使用空间表征，比如代数学习中的 箭头说明自己的表征；教师并有意 识地促使学生建构和运用表征；教 师要求学生以手臂、手指或身体移 动等展现表征的肌体运动；”（ 普雷斯梅杰，2006） （2）抽象思维与具体思维的必要 互补 一个很好的经验：“在做小研究 时，学生一定要找到一个最根本 、最具体、最直接的例子，然后 把这个例子带进课堂进行展示， 大家交流、拓展。”（深圳市沙 河小学关于“前置小研究”的经验 之一，人民教育，2012年第 9期） （3）日常语言与数学语言的必 要互补 教学中不应停留于严格的数学语言 ，而应注意应用日常语言对相关内 容作出必要的解释，并要求学生用 自己的语言说出对数学概念的理解 ，甚至是感受。 关键：我们既应对学生的非正规解 释持接受与理解的态度，同时又应 注意维护数学的正式意义。 例 正方形的认识 教师：“什么是正方形？” 学生：“方方正正就是正方形。” 教师：“什么是方方正正？” 学生：“就是四边相等。” 教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形 是否是正方形？” 学生：“不是，因为它不正。” 教师又在黑板上画一个矩形，问：“ 这是否正方形？” 学生：“不是！因为这个图形不方。” 教师将学生回答得正确的结 论写在黑板上，回答不正确的不写 ，最后加以补充总结，抽象出正方 形的定义。 （4）操作性认识与结构性认识的必 要互补 当前应当加强的环节：活动的内化 ；由操作性认识向结构性认识的必 要过渡。 相关的论述：“对概念教学，课改以 后更为强调概念的生成，这是正确 的。但不能忽视对概念本身的分析 ，这可是基本功。”（陈永明，2008 ） 更为一般的分析 概念教学的不同环节：（概念的） 生成、分析与组织。 相关的论述：“为了理解一个概念 ，一般说，一是正反举例；二是扣 住定义的关键词语；三是注意特殊 情况；四是与有关概念进行比较， 找出概念的区别和联系。” （陈永 明，2008） 一个相关的问题：什么是“数学 活动”？ 数学活动的两个基本形式： （1）概念的生成、分析与组织； （2）问题的提出与解决。 举例与“问题解决” “解决问题时，必须通过提供相关案 例向学习者提供他们不具备的 经验通过在学习环境中展示相 关案例，向学习者提供了一系 列的经验和他们可能已经建构的与 这些经验有关的知识，以便与当前 的问题进行对比。”（乔纳森 ） 相关的经验 “我提倡一题一课，一课多题 一节数学课做一道题目，以一 道题为例子讲解、变化、延伸、 拓展，通过师生互动、探讨、尝 试、修正，最后真正学到的是很 多题的知识。”（李成良，2010 ） 更为一般的主张 “双基教学”的必要发展： 基本技能，不应求全，而应求变 ； 基础知识，不应求全，而应求联 。 例 回到“植树问题” 问题：教学中是否应当特别重视“两 端都种”、“只种一端”与“两端都不种” 这样三种情况的区分，并要求学生 牢牢地记住相应的计算法则（“加一” 、“不加不减”、“减一”），从而在面 对新的类似问题时就能不假思索地 直接应用？ 有益的思考 就“植树问题”而言，在现实中是否真 的只有“两端都种”、“只种一端”、“两 端都不种”这样三种情况？ 对于其它的可能情况我们是否也应 要求学生总结出相关类型，并牢牢 记住相应的“规律”（“加二”、“减二” 、“乘二”、“除二”）？ 不同的结论 所谓的“加一”、“减一”等法则都 是针对具体情况作出的变化 从而，在此所需要的就不是“规 律的应用”；而是思维的灵活性 ，也即如何能够通过基本模式的 适当变化适应变化了的情况。 回顾：基本法则的学习，不应求 全，而应求变！ 插入：一个“反例” 教学中的“病态现象”（施银燕， 小学教学，2011年第4期） ： “小明踢球，从3时踢到5时，他 踢了几小时？”我的孩子有得3小 时的，通过数数就能检验出是错 误的，他们却深信不疑：我们学 过植树问题，5-3+1=3。” 小结 “善于举例”有利于实现“理解学习”。 相关研究不应局限于如何能够针对 具体内容选择出适当的“例子”，也应 十分重视如何很好地去处理数学的 形式方面与非形式方面之间的关系 。 基本技能的学习，不应求全，而应 求变。 二、“善于提问”与数学教学 1 . “问题”对于数学和数学教学的特殊 重要性。 （1）数学发展的基本模式： 问题问题解决新的研究问题 这就是指，“问题”可以被看成数学研 究的实际出发点。 一个相关的现象 每个数学分支都具有自己特殊的 基本问题，相应的理论正是围绕 这些问题得到建立的。 （2）从教学教学的角度看 教学活动实现”双中心”的关键。 中国数学教学的一项优秀传统：“教 师试图获得一种平衡，教学也就变 得既以学生为中心又以教师为中心 。”（ 马飞龙， “什么是好的教学？” ，人民教育，2009年第8期） 国际上的相关研究 “那些自诩为绝对真理的建议，无论 认为教学应当完全以学生为中心， 还是认为教学应当完全由教师主导 ，都得不到研究的支持，因此不应 当遵循。采取何种教学方法应当根 据具体情况来决定。”（美国数学 咨询委员会最终报告） 进一步的思考 在教学中如何才能真正做到既尊 重学生在学习活动中的主体作用 ，同时又能充分发挥教师的主导 作用？ 相关的经验 “河南省濮阳市第四中学教学改革纪实” （人民教育，2009年第6期） ：“老 师和学生都应以问题为中心进行双向的 互动，实现双主体的双互动。” “辽宁省调兵山市教育内涵发展纪实”， 人民教育，2011年第20期）：“2003 年教育局提出以问题为中心设计课堂教 学， 经过8年摸索和实践，形成教 学模式，2011年正式命名为问题引导教 学法。” 结论：数学教学中的“问题导引” 教师在教学中应当善于提出既有 一定挑战性、同时又与学生的认 知水平相适应的问题，从而很好 调动学生的好奇心，并能积极地 去进行学习，包括深入地进行思 考和探究。 应当注意的问题（1） 这里所说的“问题”并不只是指 源自实际生活的问题，也包括其 它方面的问题，以及源自数学本 身的问题。 相对于简单地去提出问题而言， 我们在教学中更应注意“问题情 境”的创设。 相关的论述 “问题情境在下述的意义上是与传统 的问题很不相同的：一个问题情境 既不能被等同于问题本身，也不能 被等同于如何在教室中对所说的问 题作出说明，它还包括了教师关于 在课堂上如何去组织这一问题的求 解以及如何对相关解答进行验证的 构思。从而，这就可看成问题与教 学情境的一个组合”；“问题情境的目 的在于促进学生对于新的知识的建 构。”（安提卡） （2）以“大问题”为导向的数学教 学 中国数学教学的现实：中国的数 学教师往往特别重视课堂提问， 但现实中又普遍存在“问题”多而 不精的弊病。 新的努力方向 与“问题”多而不精的情况相对照 ，教学中应当突出主要问题、关 键问题。 一项有意义的研究：“以大问题 为导向的数学教学”（黄爱华） 教学中的关键 我们在教学中如何能够很好地去 处理教学的“预设性”与“生成性” 之间的关系，也即使得所说的主 要问题真正成为学生自己的问题 ，包括针对学生的具体情况作出 必要的调整？ 例1 “异分母分数加减法”的教学（ 吴正宪） 教师出示了这样3道题：1/4 + 7/12=？ 1/4 + 5/6=？ 1/4 1/7= ？请同学们试做。 学生做完订正后，老师又提了这 样几个问题： 问题1：这3道题同学们都把异分母 转化为同分母分数，转化时要注意 什么？ 问题2：转化的目的是什么？ 问题3：通过计算，你认为异分母分 数加减法的计算方法是什么？ 问题4：在计算时要注意什么问题？ 例2 “百分数的意义”的教学 （黄爱华） 教学中教师首先要求学生自由地 提出各种与百分数直接相关的问 题；但与“放任自流”不同，教师 通过对学生提出的问题进行梳理 归纳出了以下几个问题： 问题1：什么是百分数的意义？ 问题2：百分数有什么好处？ 问题3：在什么情况下用百分数 ？ 问题4：百分数与分数比较有什 么不同？ 分析与思考 当前的常见做法：首先要求学生 自由地提出问题，然后再由教师 进行归纳梳理，从而引导学生集 中到主要问题之上。 关键：我们究竟应当如何去理解 “使问题真正成为学生自己的问 题”？ 2.“善于提问”与帮助学生学会数 学地思维 改进数学教学的一个重要方向。 当前应当特别强调的一个环节： 数学教学的重点并不在于教会学 生如何去做，而应更加重视如何 去想！ 数学思维的具体表现：一些定型 的问题与策略（“数学启发法”） 。 必要的学习（聚焦“问题解决”） 走近波利亚：“问题解决”现代研究的 主要奠基者。 主要工作：“数学启发法” （解题策 略）的研究 代表性著作：怎样解题；数 学的发现；数学与猜想。 实质：“一些定型的问题和建议”。 数学思维学习的关键 数学思维的学习，不应求全，而 应求用。 这也正是帮助学生学会数学地思 维的关键所在：身传言教。 相关的论述 “教师的工作是通过向学生问他 们应当自己问自己的问题来对学 习和问题解决进行指导。这是参 与性的，不是指示性的；其基础 不是要寻找正确答案，而是针对 专业的问题解决者当时会向自己 提出的那些问题。”（巴拉布与 达菲） 例 “找次品问题”的教学 问题：如果243个产品（螺丝钉 ）中有一个次品（较轻），用天 平至少称几次能保证将把它找出 来？ 求解这一问题的关键：特殊化方 法的适当应用。 问题的具体化 我们在此究竟应当如何通过n的 适当选择来逐步解决这一问题？ 前提：问题的适用变形：“如果n 个产品（螺丝钉）中有一个次品 （较轻），用天平至少称几次能 保证将把它找出来？”） 一些相关的问题 应当如何去进行称重？是两个一组 地去称重、还是三个一组地去称重 ，？ 我们是否应当逐一地去进行研究， 也即依次地研究n=5、n=6、n=7、 n=8等情况？ 就各种新的情况而言，我们又应如 何去利用已有的经验或知识？ 相关的策略思想 策略一：“三分”的合理性。（“不称”有时 也是一种“称”。） 策略二：问题的适当归类。（有时产品 多一个、少一个并不会影响到最终的答 案。 策略三：应当充分利用已获得的成果由 简到到繁地去开展研究。 策略四：思维的条理性。应当帮助学生 跳出各个具体步骤并从整体上把握全部 的解题过程。 相关的教学设计 郑毓信，“找次品问题与数学思 维“，小学教学，2011年第7 期 郑毓信，数学教师的三项基本 功，江苏教育出版社，第四章 由实践到理论 特殊化方法的应用 （梅森） 由随意的特殊化去了解问题； 由系统的特殊化为一般化提供基 础； 由巧妙的特殊化对一般性结论进 行检验。 教学的重点与难点 我们不应满足于教师自身能够通 过数学思维的恰当运用成功解决 这一问题，也应通过教学帮助学 生真正理解相应过程的合理性， 从而切实起到“帮助学生初步地 学会数学思维”的作用。 小结：“善于提问”的又一重要涵 义 教师在教学中应当善于针对当时的 情况提出具有启发性的问题。 “启发性”的基本涵义：既有一定的启 示意义，即是对于学生思维的发展 具有一定的导向与促进作用；但又 并非硬性的规范，而是有一定的开 放性或自由度，从而就能给学生的 独立思考留下充分的空间。 例 韦达定理的教学 两种不同的提问方式和教学设计 ： （1）先列表让学生填充，然后问 ：你认为根与系数有什么关系？ 方程 X1X2X1 +X2X1 X2 X2X -12 = 0 X2 6X +5 = 0 X2 2X - 35 = 0 另一种提问方式 （2）什么是一元二次方程的主要 成分？在一元二次方程的根与系 数可能存在什么样的关系？如何 去作出发现？又应如何去证明？ 插入：谷超豪先生诗一首（1991） 人言数无味，我道味无穷。 良师多启发，珍本富精蕴。 解题岂一法，寻思求百通。 幸得桑梓教，终生为动容。 3. 数学教育的更高追求：努力提高 学生提出问题的能力 能否提出恰当的问题正是创造能 力的一个重要表现。 现实情况：中国学生较为薄弱的 一环。 结论：数学教学应当努力提高学 生提出问题的能力。 两个基本认识 （1）“两个能力”并重：应当同样 重视学生解决问题能力与提出问 题能力的提高。 （2）正如“解题策略”的学习，学 生提出问题能力的提高也有一个 后天学习的过程，我们并应深入 地去研究相应的“提问策略”。 例 “提问与“从众”（祝家林） 相关信息：故事书每套12元，连 环画每套15元，科学书每套18元 。 原题：买5套故事书和2套连环画 ，一共要付多少钱？ 解答：125+152=60+30=90（ 元） 教师：谁还能再提一个问题？ （1）买3套故事书和5套连环画，一 共要付多少钱？ （2）买4套故事书和3套连环画，一 共要付多少钱？ （3）买2套故事书和6套连环画，一 共要付多少钱？ 现实中的问题： （1）满足于“简单模仿”； （2）将“创新”等同于“标新立异”。 回顾 （2）正如“解题策略”的学习，学 生提出问题能力的提高也有一个 后天学习的过程，我们并应深入 地去研究相应的“提问策略”。 关键 教师在这方面应当发挥重要的指 导作用，特别是，即应善于通过 对于学生所提出的各种问题的及 时评价作出必要的引导；另外， 教师在教学中也应切实起到“身 传言教”的作用。 提出问题的具体策略 一般化。 求变（加大难度）。 反向思维（focus backward） 例 回到“找次品问题” 原先的问题：如果243个螺丝钉 中有一个次品较轻，用天平至少 称几次能保证将把它找出来？ 一般化：如果n个螺丝钉中有一 个次品较轻，用天平至少称几次 能保证将把它找出来？ 求变 （1） 如果事先只知道“次品重量 不一样”，而不是“次品较轻”，结 果有什么不同？ （2）如果事先知道有两个次品， 而不是只有一个次品较轻，结果 有什么不同？ 例 “反向思维”的应用 相关信息：故事书每套12元，连 环画每套15元，科学书每套18元 。 原题：买5套故事书和2套连环画 ，一共要付多少钱？ 新的问题：一个学生带了90元钱 来买书，如果要求将90元钱全部 花完，他应当如何购买？ 更多的变化 如果要求将90元钱全部花完，能 否全部买故事书？能否全部买连 环画或科学书？ 如果要求将90元钱全部花完，如 何搭配可以买最多的书；如何搭 配买的书最少？ 小结 “善于提问”的基本意义之一即是 有利于学生学会数学地思维。 这并直接关系到了教学中如何能 够很好调动学生的学习积极性， 真正实现教学活动的“双中心”。 “问题导引”的三个境界 教学工作的创造性：教学内容的“问 题化”； 教学工作的艺术性：如何能使相关 的问题真正成为学生自己的问题？ 更高的水准：学生所关注的已不只 是原来的问题，所寻求的也不再是 单纯意义上的解答。”（M. Lampert，1990） 三、“善于优化”与数学教学 1. “优化”对于数学学习的特殊重 要性。 例1 单位数加法的三个不同水平 第一 ，从头数起（count all）； 第二， “简化的计数程序”：如从 第一个加数“继续往后数”。（ count on）； 第三，已知事实的应用。 例如，9+7=（9+1） +6=10+6=16 例2 算术方法到代数方法的 比较 “四则难题制造了许许多多的奇招怪 招。但是你跑不远、走不远，更不 能腾飞可是你要一引进代数方 法，这些东西就都变成了不必要的 、平平淡淡的。你就可以做了，而 且每个人都可以做，用不着天才人 物想出许多招来才能做，而且他可 以腾飞。（吴文俊） 例3 语言的必要改进 现代的符号语言： w2/5 - z3/3 + x2y4/27 中国的传统方法： 五 三 二七 元二 人三 天二地四 从数学思维的角度看 数学家们总是不满足于某些具体结果或 结论的获得，而是希望能够获得更为深 入的理解，后者不仅导致了对于严格的 逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地 去从事进一步的研究，如在这些看上去 并无联系的事实背后是否隐藏着某种普 遍的理论？这些事实能否被纳入某个统 一的数学结构等等；数学家们也总是希 望能达到更大的简单性和精致性，如是 否存在更为简单的证明？能否对相应的 表述方式（包括符号等）作出改进？等 等。 结论 应当明确肯定“优化”对于数学学 习的特殊重要性，反对放任自流 。 “优化”的具体涵义： （1）显性层面：方法的改进；结 论的推广；更好的表述方法的引 入； （2）隐性层面，观念的更新，新 的品格的养成； 更为深入的思考 什么是学生数学思维发展过程的 主要形式，是“同化”还是“顺应” ？ 相关的论述：数学思维的发展同 时包括“水平方向”上的发展与“垂 直方向”上的发展。 数学教学所应特别关注的一个问题 “数学的学习不是一个连续过程 ，它必须重新组织、重新认识， 有时甚至要与以前的知识和思考 模式真正决裂。” （M. Artique， 2004） 相关的历史事实 从发现负数到把负数当作数来使 用，其间差不多经过了整整500 年； 从发现虚数到得到一般承认，中 间实际经历了250年； 相应的思考 “学生主动探究”作为一种教学方 法是否有其一定的局限性或适用 范围？ 我们又应如何看待“先学后教”这 样一种教学模式的普遍意义？ 一般性的结论 数学学习主要是一个文化继承的 过程，我们更应清楚地看到数学 思维与相应的“情感、态度与价 值”的后天获得性，教师并应在 这一过程中发挥重要的作用。 应当更为全面和深入地认识数学 中“优化”的具体涵义。 例 学生的“规律性错误” 有理数乘除法教学中经常可以看到 的一个现象：尽管两个问题具有完 全相同的数学结构，学生却采用了 不同的运算去进行求解： （1）某种奶酪的售价为每公斤28元 ，5公斤这样的奶酪售价是多少？ （2）某种奶酪的售价为每公斤27.5元 ，0.92公斤这样的奶酪售价是多少 ？ 分析 大多数学生正是通过先前的学习逐 渐形成了关于乘除运算的一些观念 ，特别是，由于学生在开始学习乘 除法时所接触到的都是自然数，因 此就很容易形成以下的观念：“乘法 总是使数变大，除法则总是使数变 小。” 相关的结论 这正是数学教学中所说的“优化” 的一个重要涵义：我们应当帮助 学生及时纠正各种不恰当或错误 的观念，包括对知识与认知结构 等作出必要的调整与发展。 2. 教学中如何实现“优化”？ 关键：如何能够使得“优化”真正 成为学生的自觉行为，而不是外 部的强制规范。 例1 “问题解决”的教学（解题策略 ：画图） 问题：动物车展，第一天卖了65 辆车，第二天销量增加了1/5， 问：第二天卖了多少？ 教学重点：画图策略 教学中的常态 首先要求各个学生相对独立地通过 画图去求解问题 其次，为了实现学生间的积极互动 ，教师通常又会要求一些学生向全 班展示自己的画图方法。 问题：我们在课堂上是否应当让尽 可能多的学生向其它学生展示自己 的画法，如直接画65个小圈，画5个 圈去代表65辆车，等等？ 教学中的常态 上来展示的学生越多，效果似乎 就越差：大多数学生对于其它学 生所采取的方法往往视而不见， 根本不予关心，更不用说与自己 的方法进行比较。 例2 用2-6的乘法口诀求商 教师出示问题：12个桃子，每只 小猴分3个，可以分给几只小猴 ？ 几种不同的解决方法：（1）实 物操作；（2）用乘法口诀求商 ；（3）采用“连减”的方法；（4 ）采用“连加”的方法。 教学实录（片段四） 师：请小朋友看黑黑板，现在有这么多种方法 来算123，你最喜欢哪种方法？ 生：我喜欢减法，因为它最特殊。 师：不觉得它很麻烦吗？ 生：不麻烦！ 师：谁再来说说，你最喜欢哪种方法？ 生：我最喜欢加法。 师：为什么？ 生：因为我喜欢做加法，不喜欢做乘法。 师：（无奈地指着用乘法口诀求商 的方法）有没有喜欢用这种方法的 ？ 有少部分学生响应。 师：其实，用乘法口诀求商是最简 便的方法。以后我们做除法时，就 用这种方法来做。 回顾：教学中如何实现“优化”？ 关键：如何能够使得“优化”真正 成为学生的自觉行为，而不是外 部的强制规范。 一些特别重要的环节：（1）多 元化；（2）比较；（3）反思。 进一步的分析 多元化应当被看成优化、特别是 比较的必要前提。从而，我们在 教学中就不应为了“多元化”而多 元化，更不是越多越好！ 比较的主要功能：诱发反思与总 结，从而就能自觉地实现优化。 教学中的关键 第一，加强比较； 第二，努力促进学生的反思与总 结，从而使得优化真正成为学生 的自觉行为。 例1 “估算教学实录”（吴正宪） 引入（1）：“青青和妈妈一起到超 市购物，一共买了五种商品， 妈妈带了200元钱，不知够不够？” 。 引入（2）：“曹冲称象：六次称石 头所得出的重量分别为328、346、 307、377、398和352斤。大象大概 重多少？” 教学实录 教师以实例为背景并通过实际估算 和交流总结清楚地展示了估算方法 的多样性。 几种不同的估算方法：生1采取了所 谓的“小估”、即是往小里估的方法 3006=1800；生2采取了大估、也 即往大里估的方法： 4006=2400 ：也有学生（生3）坚持认为精确计 算要比估算好。 教学实录 师：“我们继续研究，精确值是2108 千克。同学们，看