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两个向量的数量积 （习题课） 授课教师：徐安祥 授课班级：高二（、 班） 小结 空间向量数量 积的定义 空间向量数量积 的性质 空间向量数量积 的运用 空间向量的夹角 一、复习提问： 1、空间两个向量 和 的数量积如何表示 ？ 其结果是向量还是实数？ 2、前面我们学过了利用两个向量的 数量积解决立体几何中的哪些类型 的问题？ 二、练习（线线垂直问题） 1、如图，三角形ABC是正三角形，AE和CD都垂 直于平面ABC，AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中 点，求证：AF BD 练习P35 A B C O 证明: 如图，已知正方体ABCDABCD，CD和DC相 交于点O，连结AO，求证AOCD D B C B C A D o 解: 三、例题讲解： 1、利用向量的数量积可以证明两直线垂直，因而 也可以证明线面垂直问题。 例1、正方体 中，E、F分别是 的中点。求证： 分析：要证明线面 垂直，只需证明直 线和已知平面内的 两条相交直线垂直 即可。本题可考虑 证明 2、应用 可证明两直线垂直， 利用 可求线段的长度。我们还可以利用 求两条异面直线所成的角。 例2、空间四边形ABCD中，AB=2，BD=4，BC=3 ，CD=2， 求AB与CD所成角 的余弦值。 分析：（1）已知AB分别与BD所成 的角，故可考虑把AB与CD所成的角 的问题转化为AB分别与BC和BD所成 角的问题。 （2） 解: A D C B b a b AB C D D E 例、如图所示，已知线段AB在平面内，线段 AC，线段BDAB，线段DD 交于 D,DBD=30.如果ABa，ACBDb， （1）求C、D间的距离; （2）求异面直线DC,BD所 成的角 运用二：求线段长度常把线 段表示成向量形式，然后通 过向量运算求解. 运用三：常运用向量数量积的 变形公式求异面直线所成的角. A D C B 解: 2、前面我们学过了利用两个向量 的数量积解决立体几何中的哪些 类型的问题？ 小 结： 到目前为止，我们可以利用向量数量积解决 立体几何中的以下几类问题： 1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离 或线段长度。 （3、证明线面垂直。）4、求两直线所成角的 余弦值等等。 1已知线段AB、BD在平面内，BDAB，线段AC ，如果ABa，BDb，ACc，求C、D间的距离. C A B D a b c 练习P35. 解: 即AB和BC的夹角为 已知正方体ABCDABCD的棱长为a，求：(1)AB 和BC的夹角； (2)ABAC C D B C B A D 用异面直线所成的角易解 已知正方体ABCDABCD
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