数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A版必修4).ppt

1 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切 高考资源网 2 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦 和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程， 理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及 运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活 运用. 3 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 在研究三角函数时，我们还常常遇到这样 的问题：已知任意角、的三角函数值， 如何求+、 或 2的三角函数值？ 下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起. 4 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x y O . . P1(x1, y1) P2(x2, y2) M1(x1, 0) M2(x2, 0) N1(0, y1) N2(0, y2) Q P1Q=M1M2=x1x2，QP2=N1N2=y1y2， 由勾股定理，可得 P1P22=P1Q2+QP22 =(x1x2)2+(y1y2)2, =x1x22+y1y22 由此得到平面内 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式：P1P2= 5 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 接下来，我们继续考虑如何运用两点间 的距离公式，把两角和的余弦cos(+)用 、的三角函数来表示的问题. x y O 如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, 并作出角、和， P1 P2P3 P4 + P1(1, 0), 各点坐标： P2(cos, sin), P3(cos(+), sin(+), P4(cos(), sin(), 6 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 x y O P1 P2P3 P4 + P1(1, 0),各点坐标：P2(cos, sin), P3(cos(+), sin(+), P4(cos(), sin(), 由P1P3P2P4及两点间距离公式，得 cos(+)12+sin2(+) =cos()cos2 +sin()sin2, 7 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 cos(+)12+sin2(+) =cos()cos2+sin()sin2, cos2(+)2cos(+)+1+sin2(+) =cos22cos cos+ cos2 + sin2+2sin sin+ sin2， 22cos(+) =22cos cos+2sin sin， cos(+)= cos cos sin sin， （C（+） 8 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 cos(+)= cos cos sin sin （C（+） 这个公式对于任意角、都成立. 例如 cos(62 cos62cos59 +59) sin62sin59; cos(113 cos113cos27 +27) sin113sin27; cos coscos() +() sin sin()， 9 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 cos(+)= cos cos sin sin. （C（+） cos coscos() +() sin sin()， coscos(cos+)sin sin. （C（） 例如 cos(113 cos113+cos27 27) sin113sin27; cos(113 cos113+cos27 +27) sin113sin27; 10 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 coscos(cos+)sin sin. （C（） +cos ) sin cos( 2 cos 2 sin 2 =sin， 即)cos( 2 =sin， 2 这里，等号两边的角的和为 ， cos 2 =sin( )， 11 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 即)cos( 2 =sin， 2 这里，等号两边的角的和为 ， cos 2 =sin( )， 这就是说，诱导公式 )cos( 2 =sin， cos, 2 sin( ) 当为任意角时仍然成立. 12 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 )cos( 2 =sin，cos, 2 sin( ) cos(+)= cos cos sin sin. 运用上述公式，得 sin(+)=cos (+) 2 =cos( ) 2 =cos( )cos 2 +sin( )sin 2 =sincos+cossin, 即 sin(+)=sincos +cossin, 13 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 sin(+)=sincos +cossin, （S（+） 在上式中用代替，得 sin()=sincos cossin, （S（） 当 cos(+)0 时，有 tan (+)= sin (+) cos (+) sincos+cos sin cos cossin sin , 若 cos cos0，得 tan (+)= tan +tan 1tan tan . 14 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 （T（+） tan (+)= tan +tan 1tan tan . tan ()= tan， sin() cos() sin cos tan ()= tan tan 1+tan tan . （T（） 公式S（+）、 C（+）、 T（+）给出 了任意角、的三角函数值(这里指正弦、 余弦或正切)与其和角+的三角函数值之 间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式 都叫作和角公式. 15 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 （T（+） tan (+)= tan +tan 1tan tan . tan ()= tan， sin() cos() tan ()= tan tan 1+tan tan . （T（） 类似地，公式S（）、 C（）、 T（）都叫作差角公式. 16 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 sin(+)=sincos +cossin, （S（+） sin()=sincos cossin, （S（） cos(+)= cos cos sin sin， （C（+） cos()= cos cos +sin sin， （C（） 等号右边“”的记忆方式： 在锐角范围内，正弦函数是增函数， 余弦函数是减函数， 17 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 sin(+)=sincos +cossin, （S（+） cos(+)= cos cos sin sin， （C（+） 记忆方式： P Q M N E F sin(+) =QM =ONsin+QNcos 1 x y O = sincos + cossin; cos(+) =OM =ONcos QNsin = coscos sinsin. =NE+QF =OEFN 18 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值. 解： sin75=sin( 45+30) =sin45cos30+cos45sin30 cos75=cos( 45+30) =cos45cos30 sin45sin30 19 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值. tan75= 或 tan75=tan( 45+30) sin75 cos75 20 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值. sin15=cos75 或 sin15=sin(4530) =sin45cos30cos45sin30 21 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值. cos15=sin75 或 cos75=cos( 4530) =cos45cos30 +sin45sin30 22 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例1、利用和(差)公式求75，15的正弦、 余弦和正切的值. tan15= 或 tan15=tan( 4530) sin15 cos15 23 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例2、已知 sin= ，( , )， 3 4 2 cos= , (， ), 3 2 求sin()、cos(+)、tan(+). 解： 2 3 sin= ，( , )， 2 2 3 cos= 3 4 cos= , (， ), 3 2 sin= 24 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例2、已知 sin= ，( , )， 3 4 2 cos= , (， ), 3 2 求sin()、cos(+)、tan(+). 2 3 sin() =sincos+cossin 25 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例2、已知 sin= ，( , )， 3 4 2 cos= , (， ), 3 2 求sin()、cos(+)、tan(+). 2 3 cos(+) =coscossinsin 26 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例2、已知 sin= ，( , )， 3 4 2 cos= , (， ), 3 2 求sin()、cos(+)、tan(+). 2 3 sin(+) =sincos+cossin tan (+)= sin (+) cos (+) 27 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例3、利用和角公式求 的值. 解： =tan(45+15) =tan60 28 品质来自专业 信赖源于诚信 金太阳教育网 例3、ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明： tanA+tanB= tanA、tanB、tanC 都有意义， ABC中没有直角， tan(A+B)= =tan(180C)tanAtanBtan(180C) = tanC+tanAtanBtanC， t