大学物理(不容错过的考点)第四篇振动波动和波动光学.ppt

感谢：曹海静老师 提供 Date P.2/66 振动学基础 波动是振动在空间传播的过程波动是振动在空间传播的过程 波动：波动： 物质基本运动形式物质基本运动形式 ： 机械振动、电磁振荡机械振动、电磁振荡 机械波、电磁波机械波、电磁波 振动学是波动学的基础振动学是波动学的基础 第11章 振动学基础 注：任何复杂的振动都可以认为是由若 干个简单而又基本的简谐运动所合成的。 第四篇 振动 波动和波动光学 振动：振动： 德布罗意波德布罗意波几率波几率波 我们生活在波的海洋中。 振动是普遍存在的一种运动形式振动是普遍存在的一种运动形式 任何一个物理量（物体的位置、 电流强度、电场强度、磁场强度等） 在某一定值附近的反复变化。 振动（vibration）： 机械振动（mechanical vibration）： 物体在一定位置（中心）附近作物体在一定位置（中心）附近作 来回往复的运动。来回往复的运动。 Ex：钟摆的摆动，活塞的往复运动等。 简谐运动(simple harmonic motion) ： 是最基本、最简单的振动。 11-1 11-1 简谐运动的描述简谐运动的描述 弹簧振子弹簧振子 单摆单摆 Date P.3/66 振动学基础 11-1 11-1 简谐运动的描述简谐运动的描述 弹簧振子弹簧振子 物体运动时，离开平衡位置的位移 （or角位移）按余弦函数（or正弦 函数）的规律随时间变化。 单摆单摆 简谐运动： 一、简谐运动的运动学特征 以弹簧振子为例： 弹簧振子：质量为m的物体系于一端 固定的轻弹簧的自由端，弹簧和物体 组成的系统称为弹簧振子。 弹簧处于自然长度时，物体受合 外力为零，物体处于平衡状态，物体 所在的位置就是平衡位置O点。 若把物体略加移动后释放，由于 弹簧被拉长或收缩，便有指向平衡位 置的回复力作用在物体上，迫使物体 返回平衡位置，这样在弹性力作用下 ，物体就在其平衡位置附近作往复运 动。 单摆的小角度摆动也是简谐运动。 A 平衡位置 A x=-A v=0 a=amax x=0 v=vmax a=0 x=A v=0 a=-amax Date P.4/66 振动学基础 （一）基本物理量（一）基本物理量 简谐运动表达式： 运动规律由余(正)弦函数描述。 1、A：振幅(amplitude) 物体离开平衡位置的最大位移； 单位：m、cm、mm、nm 2、：角频率or圆频率 (angular frequency) 2秒内往复振动的次数； 单位：弧度/秒（rad/s） 3、t+0：位相或周相(phase) 决定任意时刻系统运动状态的物 理量； 单位：弧度（rad） 相：“相貌”的意思，即相位决定 了简谐运动的相貌。 （1）0：初相 t=0时的位相，与初始条件有关； （2）相位差: 两个振动： （3）同相： Ex: 物体在正向最大处 物体在平衡位置处 Date P.5/66 振动学基础 x x t t O O 两个振动步调相同 反相： （3）同相： x x t t O O 两个振动步调相反 （4）超前： 第二个简谐振动超前第一个简谐振动 （第一个简谐振动落后第二个简谐振动 ） 落后： 第二个简谐振动落后第一个简谐振动 超前和落后具有相对性！ 4、f 或：频率（frequency） 单位时间内往复振动的次数； 单位：赫兹（Hz） 5、T：周期（period） 往复振动一次的时间。 单位：秒（s） 周期、频率与角频率关系： （第一个简谐振动超前第二个简谐振动 ） Date P.6/66 振动学基础 （二）振动曲线（二）振动曲线 x x t t O O T （三）简谐运动的速度与加速度（三）简谐运动的速度与加速度 4、f 或：频率（frequency） 单位时间内往复振动的次数； 单位：赫兹（Hz） 5、T：周期（period） 往复振动一次的时间。 单位：秒（s） 周期、频率与角频率关系： A A -A 从图上所获得的信息： 振幅 A 周期T： t=0 时，速度 or 注：t0 时对应曲线上的点作曲 线的斜率，由斜率判断V0的正负 。 Ex: Date P.7/66 振动学基础 （四）振动表达式的建立（四）振动表达式的建立 关键：初相位的确定。 （1）已知 t =0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0 基本方程： 则 振幅： 初相位： （三）简谐运动的速度与加速度（三）简谐运动的速度与加速度 讨论： （1） （2）v 比 x 的相位超前 ，a比 v 的 相位超前 。 a 比 x 的相位超前（a 和 x 反相） 代数法代数法 解：由 式，当 t =0，得 Date P.8/66 振动学基础 注意： （2）已知t = 0时， 和质点的运动方向 （v00或v00） 解：由 式得： 可求得两个值， 利用v0的方向 和式可定出。 若v00 必须0 若v0 0 必须 0 总之，只要知道初始条件，即可 利用方程 来求得A、 。 （3）如果已知的不是 t = 0 时的 x、v， （四）振动表达式的建立（四）振动表达式的建立 关键：初相位的确定。 （1）已知 t =0时，振动位移：x = x0 振动速度：v = v0 基本方程： 则 振幅： 初相位： 1、代数法 解：由 式，当 t =0，得 不是唯一的，需要具体分析 （由速度正负判断）。 同样可以利用方程 求A、 。 例题例题： A（2）：辅P259 例92 （自学） C（2）：辅P202 例111 Date P.9/66 振动学基础 旋转矢量 的模即为简谐运动的振幅 。 旋转矢量 的角速度即为振动的角 频率。 旋转矢量 与x轴的夹角(t+)为 简谐运动的相位。 t =0时， 与x轴的夹角即为简谐振 动的初相位。 x P 周期： 旋转矢量 旋转一周，P点完成一 次全振动。 二、简谐运动的旋转矢量二、简谐运动的旋转矢量 (rotating vector )(rotating vector ) 表示法：简谐运动的几何描述法表示法：简谐运动的几何描述法 P的坐标为： 在 旋转过程中，M点作匀速圆周运 动，对应的圆周叫参考圆，故旋转矢 量法又称参考圆法。 参考圆：上半圆v0 绕O点作逆时针方向的匀速转动。 自 OX 轴的原点O作一矢量 ， 旋转矢量 的端点M在X轴上的投影点 P的运动为简谐运动。 旋转一周（逆 时针方向），P完成一次全振动。 Date P.10/66 振动学基础 旋转矢量 的端点M在X轴上的投影点 P的运动为简谐运动。 旋转一周（逆 时针方向），P完成一次全振动。 P的坐标为： 在 旋转过程中，M点作匀速圆周运 动，对应的圆周叫参考圆，故旋转矢 量法又称参考圆法。 参考圆：上半圆 v0 三、相位差三、相位差 x A 二个振动的频率相同时，相位差为 初相位差 四、旋转矢量法的应用：四、旋转矢量法的应用： 求解振动表达式： 时，用于求初相 类型： 1、文字题 已知：当t=0时， 下半 圆上半 圆 Date P.11/66 振动学基础 四、旋转矢量法的应用：四、旋转矢量法的应用： 求解振动表达式： 时，用于求初相 类型： 1、文字题 已知：当t=0时， 下半 圆 上半 圆 2、图像题 已知：振动曲线（余弦或正弦曲线） 当t=0时， x 1/2A x x t t O O A A -A Ex: 由图知，t=0时， x Date P.12/66 振动学基础 例题：书P99 例111 ，书P103 例113 作业： A（2）：书 P 128 11-3，11-4， 11-5，辅 P 274 3，6 C（2）：书 P 128 11-3，11-4， 11-5，辅 P 211 3，6 Date P.13/66 振动学基础 书书P99P99例例11-1:11-1:一质点沿x轴作简谐运 动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运 动。求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和 加速度； (3)如果在某时刻质点位于x=-0.6cm ，且向x轴负方向运动，求从该位置 回到平衡位置所需要的时间。 解： （1）由已知： A=12cm，T=2s， x6cm 则振动表达式： (2) (3) t = 0 时， Date P.14/66 振动学基础 例例：一质质点沿X轴轴作简谐简谐 振动动，其 振动动曲线线如图图所示，写出振动动表式 。 解：由图图可知： 振动动表式为为： 当t=0时， A=0.2m，T=1s； x Date P.15/66 振动学基础 11-2 11-2 简谐运动的动力学特征简谐运动的动力学特征 一、动力学描述 1. 弹簧振子理想模型 根据胡克定律： (k为劲度系数) (1)在弹簧形变不大时，弹性力F 和位 移x成正比。 (2)弹性力F 和位移x 恒反向，始终指 向平衡位置。 回复力：始终指向平衡位置的作用力 振动的条件: (1)存在回复力；(2)物体具有惯性 由牛顿第二定律得： 令: 得： w由振动系统本身的性质（物体 的弹性和惯性）所决定，固称为 固有频率。 此微分方程的实数解为： 振动表达式 Date P.16/66 振动学基础 得： 此微分方程的实数解为： 振动表达式（简谐运动位移） 简谐运动的微分方程： 任何一个物理量，如果它随时间的 变化规律满足简谐运动微分方程，或遵 从余弦(或正弦)规律，则广义地说，这 一物理量在作简谐运动。 如：交流电压U 为常数 2. 单摆(simple pendulum)的讨论 摆球质量和细绳伸长忽略不计 ，把摆球从平衡位置拉开一段距离 后（摆角50）放手，摆球就在竖直 面内摆动。 O l Date P.17/66 振动学基础 2. 单摆(simple pendulum)的讨论 摆球质量和细绳伸长忽略不计 ，把摆球从平衡位置拉开一段距离 后（摆角50）放手，摆球就在竖直 面内摆动。 O l mg T 取角位移 的正方向为逆时针方向 其中， （负号表示 与 方向相反） 当 很小，并以弧度表示时， 即， 结论：结论：单摆的振动是简谐运动。 令 得 Date P.18/66 振动学基础 以弹簧振子为例，来说明振动系统 的能量 1、系统动能： 2、系统势能： xx o v 二、简谐运动的能量 基本方程： 3、系统的总能量 讨论： （1）振子在振动过程中，动能和势能 分别随时间变化，但任一时刻总 机械能保持不变。 （2）位移最大，势能最大，但动能最 小。在振动曲线的峰值。 位移为0，势能为0，但动能最大， 在振动曲线的平衡位置。 Date P.19/66 振动学基础 2、系统势能： 3、系统的总能量 讨论： （1）振子在振动过程中，动能和势能 分别随时间变化，但任一时刻总 机械能保持不变。 （2）位移最大，势能最大，但动能最 小。在振动曲线的峰值。 位移为0，势能为0，但动能最大， 在振动曲线的平衡位置。 弹簧振子的能量曲线 4、简谐运动总的特征 （1）线性回复力； （2）运动学： （3）机械能守恒： Date P.20/66 振动学基础 例题：书P106 114 作业：A（2）：书P129 1114，辅P275 10 C（2）：书P129 1114，辅P215 2 Date P.21/66 振动学基础 书书P129 11P129 111414: 当弹簧振子离开平衡位 置位移为振幅的一半时，其动能，势能 各占总能量的多少？ 振子在什么位置时 其动能和势能各占总能量的一半？ 解：解： Date P.22/66 振动学基础 11-3 11-3 简谐运动的合成简谐运动的合成 一般的复杂振动都是由简谐运动合成 的，振动合成问题比较复杂，这里我们只 讨论三种情况振动的合成。 1、两个同方向同频率简谐运动的合成(重点) 2 2、两个同方向不同频率简谐运动的合成、两个同方向不同频率简谐运动的合成 3 3、相互垂直的简谐运动的合成、相互垂直的简谐运动的合成 设：两个同方向（都为x方向），同频 率（都为w）的简谐运动表达式分别为 ： 一、两个同方向同频率简谐运动的合成一、两个同方向同频率简谐运动的合成 因两运动方向相同，则任意时刻合振动 的位移为两分振动位移的代数和： 1、代数法推导合振动 Date P.23/66 振动学基础 1、代数法推导合振动 结论：两个同方向同频率的简谐振动的 合成仍为简谐振动，其振动方向和频率 都与原来的两个分振动相同。 合振动的振幅： 合振动的初位相： 2、旋转矢量法推导合振动 x Date P.24/66 振动学基础 x 注意：的具体象限要根据1、2 确定 讨论：讨论：合振动的加强和减弱合振动的加强和减弱 k=0，1，2，3， 合振幅加强： 2、旋转矢量法推导合振动 （余弦定理） （三角形全等） 1、 位相差 同向 旋转矢量表示： x A1 A2 x A= A1+A2 合成 一起以 转动，保持相 对静止。 Date P.25/66 振动学基础 旋转矢量表示： x A1 A2 x A=A2-A1 合成 讨论：讨论：合振动的加强和减弱合振动的加强和减弱 k=0，1，2，3， 合振幅加强： 1、 位相差 同向 旋转矢量表示： x A1 A2 x A= A1+A2 合成 k=0，1，2，3， 合振幅减弱： 2、 位相差 反向 Date P.26/66 振动学基础 两个同方向同频率简谐运动的合成演示两个同方向同频率简谐运动的合成演示 Date P.27/66 振动学基础 例例11-511-5: 两个同方向的简谐运动曲线 (如图所示) (1) 求合振动的振幅。 (2) 求合振动的振动方程。 x T t 解: t=0时， x1和x2互为反相，合振幅最小 由两振动的旋转矢量图： 根据旋转矢量法： x x1的振动表达式为： 由图知： 同理，t=0时， 根据旋转矢量法： x x1的振动表达式为： x合振动表达式为： Date P.28/66 振动学基础 二、两个同方向不同频率简谐运动的合成（了解）二、两个同方向不同频率简谐运动的合成（了解） 两个同方向不同频率简谐运动的合 振动与原来的振动方向相同，但不 再在简谐运动。 设两简谐运动表达式分别为： 两振动的旋转矢量图为： 相对于 的转动角速度为 平行四边形形状变化，的大小 也在变化，合运动为非简谐运动。 为简化问题，设 振幅随时间变化振动项 当但彼此相差很小时， 上式不符合简谐运动的定义，所 以合运动不再是简谐运动。 Date P.29/66 振动学基础 合振动可看成振幅 间缓慢变化，简谐因子 随时间快速变化的近简谐运动。 “ “拍拍(beat)(bea