概率论习题(哈工程版).ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计 胡金燕胡金燕 数学科学与技术学院数学科学与技术学院 应用数学教研室应用数学教研室 梅尔梅尔求教于帕斯卡求教于帕斯卡, , 帕斯卡与费马通信帕斯卡与费马通信 讨论这一问题讨论这一问题, , 于于1654 1654 年共同建立了概率论年共同建立了概率论 的第一个基本概念的第一个基本概念数学期望 数学期望. . 概率论的诞生概率论的诞生赌徒学赌徒学 16541654年的某一天年的某一天梅尔和保罗赌钱梅尔和保罗赌钱, , 他们他们 事先各出事先各出6 6枚金币枚金币, ,并约定先胜三局者为胜并约定先胜三局者为胜, , 取得全部取得全部1212枚金币枚金币. .由于出现意外情况由于出现意外情况, , 在在 梅尔梅尔胜胜2 2局局保罗保罗胜胜1 1局时局时, ,不得不终止赌博不得不终止赌博, , 如果要分赌金如果要分赌金, ,该如何分配才算公平该如何分配才算公平? ? 本课程内容 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布 第七章第七章 参数估计参数估计 一、一、 随机现象随机现象 七、七、 小结小结 二、二、 随机试验随机试验 第一章第一章 基本概念基本概念 随机试验随机试验 、样本空间、随机事件样本空间、随机事件 三、三、 样本空间、样本点样本空间、样本点 四、四、 随机事件随机事件 五、五、 随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算 六、六、 随机事件的概率随机事件的概率 在在一定条件下必然发生一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . 2. 2. 什么是什么是确定性现象？确定性现象？ 1. 1.自然界所观察到的现象分为几种？自然界所观察到的现象分为几种？ 确定性现象确定性现象随机现象随机现象 一、随机现象一、随机现象 看电影回答问题看电影回答问题 3. 3. 什么是随机现象什么是随机现象 ？ 在一定条件下在一定条件下可能出现也可能不出现可能出现也可能不出现的现象的现象称为称为 随机现象随机现象. . 实例实例1 1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，在相同条件下掷一枚均匀的硬币， 观察正反两面出现的情况观察正反两面出现的情况. . “ “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” ” . . 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面. . “ “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起” ”, , “ “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥” ”, , “ “水从高处流向低处水从高处流向低处” ”, , 4. 4. 下面哪些现象是随机现象下面哪些现象是随机现象 ？ ()() ()() ()() ()() 结果有可能为结果有可能为: :1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 6. 实例实例3 3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观观 察出现的点数察出现的点数. . 实例实例2 2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种一目标发射同一种 炮弹多发炮弹多发 , , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况. . 结果结果: : 弹落点会各不相同弹落点会各不相同. . 实例实例4 4 从一批含有正品和次品的产品中任从一批含有正品和次品的产品中任 意抽取一个产品意抽取一个产品. . 其结果可能为其结果可能为: : 正品正品 、次品次品. . 实例实例5 5 过马路交叉口时过马路交叉口时, , 遇上的交通指挥遇上的交通指挥 灯的颜色灯的颜色. . 其结果可能为其结果可能为: : 红灯红灯 、绿灯绿灯. . 实例实例6 6 即将即将出生的婴儿可能是出生的婴儿可能是男男, ,也可能是也可能是女女. . 实例实例7 7 明天的天气可能是明天的天气可能是晴晴 , , 也可能是也可能是多云多云 或或雪雪. . 随机现象的特征：随机现象的特征： 概率论就是研究概率论就是研究 随机现象规律性随机现象规律性 的一门数学学科的一门数学学科. . 条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果 确定性现象的特征：确定性现象的特征： 条件完全决定结果条件完全决定结果 5. 5. 随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言? ? 举例说明举例说明. . 否！否！ 随机现象在随机现象在一次观察一次观察中出现什么结果具中出现什么结果具 有有偶然性偶然性, , 但在但在大量试验或观察大量试验或观察中中, , 这这 种结果的出现具有一定的种结果的出现具有一定的统计规律性统计规律性 , , 概率论就是研究随机现象这种本质规律概率论就是研究随机现象这种本质规律 的一门数学学科的一门数学学科. . 例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个 别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性 的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一 定的规律性，如一定的命中率，一定的分 布规律等等. 二、随机试验二、随机试验 随机现象是通过随机现象是通过随机试验随机试验来研究的来研究的. . 什么是随机试验什么是随机试验? ? 如何来研究随机现象如何来研究随机现象? ? 定义定义 如果试验（如果试验（1 1）可以在相同的条件下重复可以在相同的条件下重复 地进行地进行; ; （2 2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个, , 并且能事先明确试验的所有可能结果并且能事先明确试验的所有可能结果( (或者范围或者范围 ););进（进（3)3)行一次试验之前不能确定哪一个结果行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现会出现. . 称为称为随机试验（简称为试验）随机试验（简称为试验）. . 定义定义 如果试验（如果试验（1 1）可以在相同的条件下重复可以在相同的条件下重复 地进行地进行; ; （2 2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个, , 并且能事先明确试验的所有可能结果并且能事先明确试验的所有可能结果( (或者范围或者范围 ););进（进（3)3)行一次试验之前不能确定哪一个结果行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现会出现. . 称为称为随机试验（简称为试验）随机试验（简称为试验）. . 定义定义 如果试验（如果试验（1 1）可以在相同的条件下重复可以在相同的条件下重复 地进行地进行; ; （2 2）每次试验的可能结果不止一个）每次试验的可能结果不止一个, , 并且能事先明确试验的所有可能结果并且能事先明确试验的所有可能结果( (或者范围或者范围 ););进（进（3)3)行一次试验之前不能确定哪一个结果行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现会出现. . 称为称为随机试验（简称为试验）随机试验（简称为试验）. . 定义定义 随机试验随机试验 E E 的所有可能结果组成的所有可能结果组成 的集合称为的集合称为 E E 的样本空间的样本空间, , 记为记为 S S . . 样本空间的元素样本空间的元素 , , 即试验即试验E E 的每一的每一 个结果个结果, , 称为称为样本点样本点, , 记作记作e e . . 三、样本空间、样本点三、样本空间、样本点 每次试验有样本空间的一个样本点每次试验有样本空间的一个样本点 出现，且只有一个样本点出现出现，且只有一个样本点出现. . 实例： 2 2个样本点个样本点 实例： 6 6个样本点个样本点 实例： 无限多个样本点无限多个样本点 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，如果试验是将一枚硬币抛掷两次， 则样本空间由如下四个样本点组成： 则样本空间由如下四个样本点组成： S S=(=(H,HH,H), (), (H,TH,T), (), (T,HT,H), (), (T,TT,T) ) 第1次第2次 HH T H H T TT (H,T)： (T,H): (T,T)： (H,H): 其中 样本空间在如下样本空间在如下 意义上提供了一个理意义上提供了一个理 想试验的模型：想试验的模型： 在每次试验中在每次试验中 必有一个样本点出必有一个样本点出 现且仅有一个样本现且仅有一个样本 点出现点出现 . . 答案答案 写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间. . 1. 1. 同时掷三颗骰子同时掷三颗骰子, ,记录三颗骰子之和记录三颗骰子之和. . 2. 2. 生产产品直到得到生产产品直到得到1010件正品件正品, ,记录生产记录生产 产品的总件数产品的总件数. . 课堂练习课堂练习 说明说明 1. 1. 试验不同试验不同, , 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同. . 2. 2. 同一试验同一试验 , , 若试验目的不同若试验目的不同, , 则对应则对应 的样本空的样本空 间也不同间也不同. . 例如例如 对于同一试验对于同一试验 “ “将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次” ”. . (1) (1) 若观察正面若观察正面 HH、反面反面 T T 出现的情况出现的情况 , , 则样本空间为则样本空间为 (2) (2) 若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , , 则样本空间为则样本空间为 说明说明 3. 3. 建立样本空间建立样本空间, , 事实上就是建立随机现象事实上就是建立随机现象 的数学模型的数学模型. . 因此因此 , , 一个样本空间可以概一个样本空间可以概 括许多内容大不相同的实际问题括许多内容大不相同的实际问题. . 例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间 它既它既可以作为抛掷硬币出现可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反反 面面的模型的模型 , , 也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与 不合格不合格的模型的模型 , , 又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人有人 排队排队与与无人排队无人排队的模型等的模型等. . 所以在具体问题的研究 中 , 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间. 随机事件随机事件 随机试验随机试验 E E 的样本空间的样本空间 S S 的的 子集称为子集称为 E E 的随机事件的随机事件, , 简称事件简称事件. . 1. 1. 基本概念基本概念 四、随机事件的概念四、随机事件的概念 也可以说：在一次试验中可能发生也可能 不发生的事件称为随机事件，简称事件. “ “点数不大于点数不大于4”,4”, 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数. . “ “出现出现1 1点点” ”, , “ “出现出现2 2点点” ”, , “ “出现出现6 6点点” ”, , “ “点数为偶数点数为偶数” ” 都为随机事件都为随机事件. . 基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集. . 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数. . “ “出现出现1 1点点” ”, , “ “出现出现2 2点点” ”, , “ “出现出现6 6点点” ”, , 都为基本事件都为基本事件. . 相对于观察目的不可再分解相对于观察目的不可再分解. . 复合事件复合事件 由多个样本点组成的事件由多个样本点组成的事件. . 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数. . “ “点数大于点数大于1”, 1”, “ “点数为奇数点数为奇数” ”, , “ “点数小于点数小于5”,5”, 都为复合事件都为复合事件. . 两个以上基本事件的并两个以上基本事件的并. . 必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果. . “ “点数不大于点数不大于6”,6”, 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数. . 是必然事件是必然事件. . 实例实例 两个特殊的事件：两个特殊的事件： 不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果. . 常用常用 表示表示 . . “ “点数为点数为8”,8”,是不可能事件是不可能事件. . 必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件, , 不可能事件的对立面是必然事件不可能事件的对立面是必然事件, , 它们互称为它们互称为对立事件对立事件. . 2. 2. 几点说明几点说明 例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数. . 可设可设 A A = “= “点数不大于点数不大于4”,4”, B B = “= “点数为奇数点数为奇数” ” 等等等等 . . (1)(1) 随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件, , 并以大写英文字母并以大写英文字母 (2)(2)A A, , B B, , C C, , 来表示事件来表示事件 (2) (2) 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 随机试验随机试验样本空间样本空间 子集子集 随机事件随机事件 随机事件随机事件 基本事件基本事件 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件 复合事件复合事件 互为对立事件互为对立事件 1. 1. 包含关系包含关系 若若事件事件 A A 出现出现, , 必然导致必然导致 B B 出现出现 , , 则称则称 事件事件 B B 包含事件包含事件 A A, ,记作记作 五、随机事件间的关系及运算五、随机事件间的关系及运算 实例实例 所以所以“ “产品不合格产品不合格” ”包含包含“ “长度不合格长度不合格” ”. . 图示图示 B B 包含包含 A A. . S S B B A A “ “长度不合格长度不合格” ” 必然导致必然导致 “ “产品不合格产品不合格” ” 2. 2. A A等于等于B B 若事件若事件 A A 包含事件包含事件 B B， 而且事件而且事件B B 包包 含事件含事件 A A，则称事件则称事件 A A 与事件与事件 B B 相等相等，记记 作作 A=BA=B. . 3. 3. 事件事件 A A 与与 B B 的并的并( (和事件和事件) ) 实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定, ,因此因此 “ “产品不合格产品不合格” ”是是 “ “长度不合格长度不合格” ”与与“ “直径不合格直径不合格” ”的并的并. . 图示事件图示事件 A A 与与 B B 的并的并. . S S B BA A 4. 4. 事件事件 A A 与与 B B 的交的交 ( (积事件积事件) ) 图示事件图示事件A A与与B B 的积的积事件事件. . S S A A B B ABAB 实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的某种产品的合格与否是由该产品的 长度与直径是否合格所决定长度与直径是否合格所决定, ,因此因此“ “产品合产品合 格格” ”是是“ “长度合格长度合格” ”与与“ “直径合格直径合格” ”的交或积的交或积 事件事件. . 和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质 5. 5. 事件事件 A A 与与 B B 互不相容互不相容 ( (互斥互斥) ) 若事件若事件 A A 的出现必然导致事件的出现必然导致事件 B B 不出现不出现, , B B 出现也必然导致出现也必然导致 A A不出现不出现, , 则称事件则称事件 A A与与B B互不相互不相 容容, , 即即 实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “, “出现花面出现花面” ” 与与 “ “出现字面出现字面” ” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件. . “ “骰子出现骰子出现1 1点点” “” “骰子出现骰子出现2 2点点” ” 图示图示 A A 与与 B B 互斥互斥 . . S S A A B B 互斥互斥 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数 . . 6. 6. 事件事件 A A 与与 B B 的差的差 由事件由事件 A A 出现而事件出现而事件 B B 不出现所组成不出现所组成 的事件称为事件的事件称为事件 A A 与与 B B 的差的差. . 记作记作 A A - - B B. . 图示图示 A A 与与 B B 的的差差. . S S A A B B S S A A B B 实例实例 “ “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格” ” 是是 “ “长度合格长度合格” ” 与与 “ “直径合格直径合格” ” 的差的差. . 给定事件给定事件 A A, , 则事件则事件 “ “事件事件 A A 不出现不出现” ” 称为事件称为事件 A A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. . 记作记作 实例实例 “ “骰子出现骰子出现1 1点点” “” “骰子不出现骰子不出现1 1点点” ” 图示图示 A A 与与 B B 的对立的对立. . S S B B 若若 A A 与与 B B 互逆互逆, ,则有则有 A A 7. 7. 事件事件 A A 的对立事件的对立事件 对立对立 对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 S S S S A A B B A A B B A A、B B 对立对立A A、B B 互斥互斥 互互 斥斥对 对 立立 事件间的运算规律事件间的运算规律 A（BC）(A B) (A C)= 分配律（一） 事 件 运 算 的 基 本 规 律 A A ( (B B C C) ) ( (A A B B) ) ( ( A A C C) ) = 分配律（二） 事 件 运 算 的 基 本 规 律 AB = 德莫根律（一） 事 件 运 算 的 基 本 规 律 = 德莫根律（二） 事 件 运 算 的 基 本 规 律 (1)(1)没有一个是次品没有一个是次品; ; (2)(2)至少有一个是次品至少有一个是次品; ; (3)(3)只有一个是次品只有一个是次品; ; (4)(4)至少有三个不是次品至少有三个不是次品; ; (5)(5)恰好有三个是次品恰好有三个是次品; ; (6)(6)至多有一个是次品至多有一个是次品. . 六、事件的概率六、事件的概率（probability of eventsprobability of events） 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是事件的概率的可能性大小，也就是事件的概率. . 概率是随机事件概率是随机事件 发生可能性大小发生可能性大小 的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性 越大，概率就越大，概率就 越大！越大！ 概率的取值范围： 事件发生的可能性事件发生的可能性 最大是百分之百，此时最大是百分之百，此时 概率为概率为1.1. 0P(A)1 我们用P(A)表示事件A发生的概率，则 事件发生的可能性事件发生的可能性 最小是零，此时最小是零，此时 概率为概率为0.0.