北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值.ppt

* 一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程： Date 必要条件 函数极值与导数 函数极值的定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 函数极值的求法 求极值的步骤:1.求导，2.求极值点，3.列表，4.求极值 （一）、知识回顾: Date x y o a b y=f(x) xxb f (x)+0- f(x)单调单调 递递增 极大值值 单调单调 递递减 f(a) f(b) xxa f (x)-0+ f(x) 单调单调 递递减 极小值值 单调单调 递递增 极大值点和极小值点 统称为极值点 极大值和极小值 统称为极值 函数极值的判定定理 Date 结合课本练习思考 极大值一定比极小值大吗？ 极值是函数的局部性概念结论：不一定 极大值 极小值 极 小 值 Date 导数的应用之三:求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题 ，这就是我们通常所说的最值问题. （二）、新课引入 问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？ 观察极值与最值的关系： Date 函数的最值 x X2oaX3 b x1 y 观察右边一个定义 在区间a,b上的函数 y=f(x)的图象，你能找 出函数y=f（x）在区 间a，b上的最大值、 最小值吗？ 发现图中_是极小值，_是极 大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是 _。 f(x1)、f(x3)f(x2) f(b) f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ Date 在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值. x y 0 a b x1 x2 x3 x4 f(a) f(x3) f(b)f(x1 ) f(x2) Date (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值 求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) （三）、新课探析: 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值. Date (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一 个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并 且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端 点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值). (4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数 的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处 的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. Date ox y ab ox y ab ox y ab ox y ab y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值. Date 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值. 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理 （四）、知识运用: 一是利用函数性质；二是利用不等 式；三是利用导数。 注： 求函数最值的一般方法： Date 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的极值与最值 故函数f(x) 在区间1，5内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2 法二、解、 f (x)=2x-4 令f (x)=0，即2x-4=0， 得x=2。 x1 （1，2） 2 （2，5） 5 0 y - + 3 112 Date x O y yf(x ) ab x O y yf(x ) ab 如果函数 f (x)在a, b上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b) 是 f (x)在a, b上的最大值(最小值)。 函数的最值一般有两种情况： （1） Date x O y f(x0) yf(x ) ax0b xO y f(x0) yf(x ) ax0b 如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小) 值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数 在区间a, b上的最大(小)值。 函数的最值一般分为两种情况： (2)如果函数在区间(a, b)内有极值,将y=f(x)的 各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最 大值，最小的一个最小值. Date 求函数在闭区间内的最值的步骤 (1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值； (2) 求出区间端点处的函数值； (3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数 的最大值，最小的就是函数的最小值。 Date 求函数 y = x + 3 x9x在上4 , 4 的最大值和最小值。 解 (1) 由 f (x)=3x +6x9, (2) 区间端点4 , 4 处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76 (3) 比较以上各函数值， 例2 得驻点为 x1=3，x2=1 驻点处的函数值为f (3)=27, f (1)=4 可知函数在4 , 4 上的 最大值为 f (4) =76，最小值为 f (3)=27 Date 思考:你能作出函数f(x)的大致图象吗? 例3 求f(x)=x/2 +sinx在区间0,2上 的最值. Date 例题讲解 例1 求函数 在区间 上的最大值与 最小值 解： 令，有，解得 1345413y +00+0 2(1,2)1(0,1)0 (- 1,0) -1 (-2,- 1) -2x 当x 变化时， 的变化情况如下表： 从表上可知，最大值是13，最小值是4 Date 例2 解 Date 计算 比较得 Date 求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。 答 案 最大值 f (/2)=/2，最小值 f (/2)= /2 最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (5)= 5+ 最大值 f (1)=29，最小值 f (3)= 61 课堂练习 ： Date 求函数 在 内的极值