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复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 4.3 泰勒级数 z0 K z r z 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 按柯西积分公式, 有 且 z0 K z r z 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 由解析函数高阶导数公式,上式可写成 z0 K z r z 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform z0 K z r z 在K内成立, 即 f (z)可在K内 用幂级数表达. q与积分变量z无关, 且0q1. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 因此, 下面的公式在K内成立: 称该等式为f (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的 级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数. 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所 以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z) 在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z0为 D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离,则 当|z-z0|d 时, 注：如果f (z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式 成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点 a 的距离, 即R=|a-z0|. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform y z0 a x 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数: 把 f (z)在z0点展开成幂级数, 称此为直接展开法 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+. 同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式: 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用 幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的 泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰 勒展开式也可以用间接展开法得出: 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以 可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 例1 把函数 展开成z的幂级数. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式. 解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数. -1O R=1 x y 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 推论1： 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 注： 推论2: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有 一个奇点。(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛) 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 例如： 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 推论3： 例如： 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 而如果把函数中的x换成z, 在复平面内,函数 它有两个奇点i,