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x y z S N P 复变变函数与积积分变换变换 第四章 级数 1. 复数项级数 2. 幂级数 3. 泰勒级数 4. 洛朗级数 5. 第四章小结与习题 R r .z . . . 第四节 洛朗级数 问题的引入 1 洛朗级数的概念 2 小结与思考 5 典型例题 4 函数的洛朗展开式 3 一、问题的引入 问题: 负幂项部分正幂项部分 主要部分解析部分 同时收敛 收敛 收敛半径 收敛域 收敛半径 收敛域 两收敛域无公共部分, 两收敛域有公共部分 R 结论: . 常见的特殊圆环域: . 例如，都不解析, 但在圆环域及内都是解析的. 而 2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开 成级数? 所以 即内可以展开成级数. 也可以展开成级数： 二、洛朗级数的概念 定理 C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数. 证 对于第一个积分: R r .z . . 对于第二个积分: 其中 下面证明 则 如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单 闭曲线 . 则可用一个式子表示为: 证毕 说明: 函数在圆环域内的洛朗展开式 在圆环域内的洛朗(Laurent)级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负 幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数 的一般方法. 三、函数的洛朗展开式 常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点: 计算往往很麻烦. 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性，可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 . 2. 间接展开法 四、典型例题 例1 解由定理知: 其中 故由柯西古萨基本定理知: 由高阶导数公式知: 另解 本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点, 例2 内是处处解析的, 试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数. 解 ox y 1 12 ox y 由 且仍有 2 ox y 由 此时 仍有 注意: 奇点但却不是函数的奇点 . 本例中圆环域的中心是各负幂项的 说明: 1. 函数在以为中心的圆环域内的洛朗级 数中尽管含有的负幂项, 而且又是这些 项的奇点, 但是可能是函数的奇点,也可能 的奇点.不是 2. 给定了函数与复平面内的一点以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式 (包括泰勒展开式作为它的特例). 回答：不矛盾 . 朗展开式是唯一的) 问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾? (唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛 解 例3 例4 解 例5 内的洛朗展开式. 解 五、小结与思考 在这节课中，我们学习了洛朗展开定理和函 数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级 数是本节的重点和难点. 洛朗级数与泰勒级数有何关系? 思考题 洛朗级数是一个双边幂级数，其解析部分 是一个普
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