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文档简介

第一节 解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考 1 一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义: 2 在定义中应注意: 3 例1 解 4 例3 解 5 6 2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 7 证毕 8 3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: 9 10 4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 11 特别地, 12 二、解析函数的概念 1. 解析函数的定义 13 2. 奇点的定义 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多. 14 例4 解由本节例1和例3知: 15 16 17 例5 解 18 例6 解 19 20 课堂练习 答案处处不可导,处处不解析. 21 定理 以上定理的证明, 可利用求导法则. 22 根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 23 三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数 的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求 导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格
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