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观观 察察 观观 察察 正多边形定义： 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形. 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相 等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆 就是这个正多边形的外接圆. 如图, 把O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正 五边形ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA, A=B. A B CD E O 同理B =C =D =E. 又五边形ABCDE的顶点都在O上, 五边形ABCDE是O的内接正五边形, O是五边形ABCDE 的外接圆. 1：我们以圆内接正五边形为例证明. 弧相等弧相等 多边形是正多边形多边形是正多边形 弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等） A B CD E O 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等的 圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例 . 答：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 多边形A1A2A3A4An是O的内接多边形, 且A1A2=A2A3=A3A4=An1An, 多边形A1A2A3A4An是正多边形. A1 A A A A A A An O 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等的 圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例 . 答：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形. 3.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 . O 中心角半径R 边心距r 1.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 2.正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径. 4.中心到正多边形的一边的距离叫 做正多边形的边心距. E F C D . . .O O 中心角中心角 A A B B G G 2.边心距把AOB分成 两个全等的直角三角形 3.设正多边形的边长为a,半径为R, R a （ 它的周长为lna. 4.4.正正n n边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是_;_; 中心角是中心角是_;_; 5.5.正多边形的中心角与外角的大小关系正多边形的中心角与外角的大小关系 是是_._. 相等相等 6.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共 有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。 注意： 边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。 例1. 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1m2). O A BC D EF R P r 例1.有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基 的周长和面积(精确到0.1m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ， OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此,亭子地基的周长:l =46=24(m). 在RtOPC中,OC=4, PC= 由勾股定理, 得边心距： 亭子地基的面积： O A BC D EF R P r 2.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形 的边长，边心距和面积. A BC D O 2.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边 心距和面积. 解：作等边ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB，则OB=R 在RtOBD中 OBD=30, 边心距OD= 在RtABD中 BAD=30, A BC D O 2.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形 的边长，边心距和面积. A B C D O E 解：连接OB，OC 作OEBC垂足为E， OEB=90 OBE= BOE=45 在RtOBE中为等腰直角三角形 A B C D O E 1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形因为四条边都相等，四 个角都相等. 答 ： 2.O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边 形ABCDE的_，它是正五边形ABCDE的_圆的半 径。 3.AOB叫做正五边形ABCDE的_，它的度数是_. 边心距内切 中心角72 问题1：已知O的半径为2cm，求作圆的内接正三角 形. 120 用量角器度量，使 AOB=BOC=COA =120 用量角器或30角的三 角板度量，使 BAO=CAO=30 A O C B 问题2： 你能用以上方法画出正四边形、正五 边形、正六边形吗？ A B C D O A B CD E O O A B C D E F 9072 60 问题3： 你能尺规作出正四 边形、正八边形吗？ A B C D O 只要作出已知O的互 相垂直的直径即得圆 内接正方形，再过圆 心作各边的垂线与O 相交，或作各中心角 的角平分线与O相交 ，即得圆接正八边形 ，照此方法依次可作 正十六边形、正三十 二边形、正六十四边 形 问题4：用尺规作正六边形、正三角形、正十二边形 O A B C E F D 以半径长在 圆周上截取六段 相等的弧，依次 连结各等分点， 则作出正六边形. 先作出正六 边形，则可作正 三角形，正十二 边形，正二十四 边形 A B C D MN 1 1、判断题。、判断题。 各边都相等的多边形是正多边形。各边都相等的多边形是正多边形。 （ ） 一个圆有且只有一个内接正多边形。一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ ） 2. 2.菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ 3.（2009江苏中考）已知正六边形的边长为1cm，分别 以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如 图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm（结 果保留 ) ） 2 4.若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为_. 5.如图，有一个圆O和两个正六边形T1,T2 T1 的6个顶点 都在圆周上，T2 的6条边都和圆O相切（我们称 T1,T2 分 别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）.设 T1,T2的边 长分别为a、b，圆O的半径为r,求r：a及r：b的值。 解：连接圆心O和T1的6个顶点 可得6个全等的正三角形 .所以 ra=11; 连接圆心O和T2相邻 的两个顶点，得以圆O半 径为高的正三角形，所以 rb= 6. 6.求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多求证：顺次连结正六边形各边中点所得的多 边形是正六边形。边形是正六边形。 A B CD E F 如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是 ,圆周角是.600或1500300 1.填空题 前两单元习题 已知A、B、C三点在圆O上，连接AB、CO，如果 AOC=140 ，则 B=_ 平面上一点P到圆O上一点的 距离最长为6cm,最短为2cm,则 圆O的半径为 . D 2cm或4cm 110 如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，延长BD到点C， AC=AB，BD与CD的大小是_. 拓展：若B=70 ,则 DOE= E 40 相等 如图，I是ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点 D、E、F，DEF50，则A=_.80 2.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？ A B C P 3.如图，AB是O的任意一条弦，OCAB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm，你能求出这面镜子的半径吗？ O 7 14 4.如图图，ABC是O的内接三角形，AC=BC，D为为O中AB 上一点，延长长DA至点E，使CE=CD （1）求证证：AE=BD； （2）若ACBC，求证证：AD+BD= CD 5.如图，AB是O的弦，OCOA交AB于点C，过点B的直线 交OC的延长线于点E，当CE=BE时，直线BE与O有怎样的 位置关系？并证明你的结论 6.已知：如图图，A是O上一点，半径OC的延长线长线 与过过点A的直线线交于B点，OC=BC， 求证证：AB是O的切线线； 若ACD=45，OC=2，求弦CD的长长 AB O C D 7.如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DEBC于E 求证:DE是圆O的切线. A B C D E O . 8.如图图，O是CAE平分线线上的一点，以点O为圆为圆 心的圆圆和 CAE的两边边分别别交于点B、C和D、E，连结连结 BD、CE. 求证：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE. 【解析】 (1)要证证弧相等，即要证证弦相