七年级三角形专题.doc.doc

三角形知识点：关于三角形的一些概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。它有三条边、三个内角和三个顶点，三角形可用符号“”表示三角形的表示方法通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作，其中线段是三角形的三条边，有时也用来表示。顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示。三角形的分类三角形三条边的关系 三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。 等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。 三角形接边相等关系来分类： 三角形 用集合表示，见图24 三角形按角分类： 用集合表示，见图 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 例如图26中 1 3；1=34；538；5378；28；278；49；4910等等。三角形的三条重要线段 1、三角形的角平分线。 三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离） 2、三角形的中线 三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离） 3三角形的高 三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离） 注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。 如图 2l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线，它们都在ABC内 如图22，AD、BE、CF都是ABC的中线，它们都在ABC内 而图23，说明高线不一定在 ABC内， 图23（1） 图23（2） 图23一（3）图23（1），中三条高线都在 ABC内， 图23（2），中高线CD在ABC内，而高线AC与BC是三角形的边；图23一（3），中高线BE在ABC内，而高线AD、CF在ABC外。三角形的内角（1）三角形内角的概念：在三角形中，由相邻两边组成的角叫做三角形的内角。（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和为。（3）三角形内角和定理的推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的外角（1）三角形外角的概念：三角形的一条边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角应具有三个特征：顶点时三角形的一个顶点；一边是三角形的边；另一边是三角形某条边的延长线。（2）三角形外角的性质：三角形的外角与和它相邻的内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。三角形的有关性质（1）边的性质：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。 例如三条线段长分别为5，6，1人因为5612，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。（2）角的性质：三角形的内角和为180 由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。 如已知ABC的两个角为A90，B40，则C180904050 由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，直角三角形的两个锐角互余（3）稳定性：即三角形的三边的长度确定后，三角形的形状保持不变三角形的面积 三角形的面积= 1/2 底高全等三角形 能够完全重合的两个图形叫全等形。 两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 全等用符号“”表示 ABCA BC表示 A和 A， B和B， C和C是对应点。 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 如图27，ABCA BC，则有A、B、C的对应点A、B、C；AB、BC、CA的对应边是AB、BC、CA。 A，B，C的对应角是A、B、C。 ABAB，BCBC，CACA；AA， BB，CC 五、全等三角形的判定 1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。 2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”） 3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边域“AAS”） 4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。 除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。 5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）判别两个三角形全等1已知两边 2已知一边一角3已知两角经典例题考点一：三角形三边关系三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边例1 在ABC中，AB=9，BC=2，并且AC的长为奇数，那么ABC的周长是多少？分析 由三角形中第三边取值范围的确定方法：“两边之差第三边两边之和”，可求出AC的长，从而求出ABC的周长解：根据三角形三边关系有AB-BCACAB+BC，所以9-2AC9+2，即7AC11，又因为AC的长为奇数，所以AC=9，所以ABC的周长为9+9+2=20练习1：（1）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ）A4cm，5cm，6cm B2cm，3cm，5cmC4cm，4cm，9cm D12cm，5cm，6cm（2）有长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的线段，则以其中三条线段为边可构成_个三角形答案与提示：（1）选A；（2）其中2cm，3cm，4cm； 2cm，4cm，5cm； 3cm，4cm，5cm共可构成三个三角形考点二：三角形的内角和三角形三个内角的和等于，直角三角形的两个锐角互余例2（2004年陕西中考题）如图，在锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若A=，则BPC的度数是（ ）A B C D 分析：解这类题目的关键要明确所求的角是哪个三角形的内角，要抓住题目中存在的等量关系，如“三角形的内角和等于等”解：在ABC中，A=，ABC+ACB=-=CD、BE分别是AB、AC边上的高，ADC=AEB=在RtABE中，ABE=-A=- = 在RtACD中，ACD=-A=- = PBC+PCB=（ABC+ACB）-（ ABE +ACD ）= =在BPC中，BPC=-（PBC+PCB）= - =本题选B练习2：（1）（2005年黑龙江中考题）已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为，则BAC等于_（2）一块模板如图所示，按规定AB、CD的延长线相交成角，因交点不在模板上，不便测量，所以工人师傅连结AC，测得BAC=，DCA=，这时就可以知道，AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定请说明理由答案与提示：（1）；（2）由三角形内角和定理可得 H=考点三 三角形中的三条重要线段在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高例3 如图，在ABC中，分别画出它的中线AD和高AE，并回答下列问题：（1）AE还是哪些三角形的高？（2）ABD与ACD的面积有什么关系？为什么？分析 应根据三角形的中线和高的意义画图解：（1）如图，AE还是ABD、ADE、ADC、AEC、ABE的高（2）ABD与ACD的面积相等，因为这两个三角形等底同高 练习3：（1）三角形一边上的高（ ）A必在三角形内部B必在三角形外部C必在三角形的边上D以上三种情况都有可能（2）如图5，AE是ABC的角平分线，则_=_=_；AD是ABC的中线，则_=_=BC（3）三角形的三条角平分线的交点和三条中线的交点，一定在三角形的（ ）A内部 B外部 C边上 D不确定答案与提示：（1）选D；（2）BAE，CAE，BAC；BD，CD；（3）选A考点四 图形的全等两个能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同特别地，全等图形的面积相等例4 如图（1），一个55的正方形，去掉居于中心位置的画阴影的一格，你能沿着图中的虚线，把余下的部分分成四个全等的图形吗？分析 可以从方格的数量（即面积）入手考虑55的正方形共有25格，去掉一格后，还有24格如果分成四个全等的图形，则每个图形应该有6格解：图（2）（8）是几种可能的划分方案 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）练习4：沿着图中的虚线，请用至少三种方法把下面的图形划分为两个全等图形，把你的方案画在下面的图中答案如下：考点五 全等三角形的特征及三角形全等的条件全等三角形的对应边相等，对应角相等三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角” 或“ASA” 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边” 或“SAS”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边” 或“HL”例 5 如图，如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带去 分析 怎样做一个三角形与已知三角形全等，可依据全等三角形的判定条件来判断题中的一块三角形的玻璃被打碎成三块，其中：（1）仅留一角；（2）没边没角；（3）存在两角和夹边，可依据ASA，不难作出与原三角形全等的三角形解：应选C练习5：（1）（2005年临沂市中考题）如图，将两根钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件， 则AB的长就等于内槽宽AB的长，那么AOBOAB的理由是（ ）A 边角边 B角边角 C 边边边 D 角角边（2）（2004年潍坊市中考题）如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（ ）A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙（3）如图10，1=2，BC=EF，那么需要补充一个条件_（写出一个即可），才能使ABCDEF答案与提示：（1）选A；（2）选B；（3）提示：此题答案不唯一，属开放性问题根据三角形全等的条件：SSS，ASA，AAS，SAS，对照图中已知条件，只需有另外一角或边AC=DF即可应填B=E（A=D或AC=DF均可）B如图1所示，AB=AD，BAD=CAE，请添加一个适当条件使ABCADE，则需添加的条件是 （一个即可）BADCEA C图2D图13、如图2，AB=AD，B=D，ABC与AD